2
Получено выражение: $\dot h=-v \sin{\gamma}$ |
0.10 |
|
3
Получено выражение: $\dot s= v\cos{\gamma}\cdot r_0/r$ |
0.10 |
|
1
Записаны уравнения движения на оси(ускорение в любом виде): $a_\tau=-D/m+g\sin{\gamma}$. $a_n=-L/m+g\cos{\gamma}$. |
2 × 0.10 |
|
2
Получено выражение для $a_n$: $a_n=(\dot\gamma +v\cos{\gamma}/r)v$ |
0.40 |
|
3
Получены выражения для $\dot\gamma$ и $\dot v$: $\dot v= -D/m+g\sin{\gamma}$. $\dot\gamma=-L/mv+g\cos{\gamma}/v-v\cos{\gamma}/r$. |
2 × 0.20 |
|
4 Неверное направление $\gamma$. Далее ставятся полные баллы, даже при неправильном направлении $\gamma$. | -0.30 |
|
1
Использовано выражение: $\dot v/\dot h= dv/dh$. |
0.10 |
|
2
Получен ответ для $dv/dh$: $dv/dh=\dfrac{\rho_0 C_D S}{2m\sin{\gamma}}\cdot ve^{-\beta h}$. |
0.30 |
|
1
Получено уравнение вида: $\dfrac{dv}{v}=Ae^{-\beta h}dh$ |
0.20 |
|
2
Получено интегральное соотношение: $v=v_0\exp\left(-\dfrac{A}{\beta}\cdot\left (e^{-\beta h}-e^{-\beta h_0}\right)\right)$ |
0.30 |
|
3
Получено выражение с учетом приближения: $v=v_0\exp\left(-\dfrac{A}{\beta}e^{-\beta h}\right)$ |
0.30 |
|
4 Ответы выражены через неверные величины. | -0.20 |
|
1
Выражение для производной сложной функции: $\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{dv}{dh}\dfrac{dh}{dt}$ |
0.10 |
|
2
Получено выражение для $a$: $a=-Av_0^2\sin{\gamma}\cdot e^{-\beta h}\exp\left(-\dfrac{2A}{\beta}e^{-\beta h}\right)$ |
0.20 |
|
3 Ответы выражены через неверные величины. | -0.10 |
|
1
Получено уравнение вида: $\beta-2Ae^{-\beta h}=0$ |
0.20 |
|
2
Получен ответ для $h_c$: $h_c=\dfrac{1}{\beta}\ln\dfrac{2A}{\beta}$. |
0.10 |
|
3
Получен ответ для $a_{max}$: $a_{max}=\dfrac{\beta v_0^2\sin{\gamma}}{2e}$ Если потерян знак, то пункт оценивается в 0 баллов. |
0.10 |
|
4
Получен ответ для $v_c$: $v_c=v_0e^{-1/2}$. |
0.10 |
|
1
Получены численные значения: $h=80~км$: $a=-0.20~g_0$, $v=7.7~км/с$. $h=60~км$: $a=-2.8~g_0$, $v=7.2~км/с$. $h=40~км$: $a=-5.9~g_0$, $v=2.7~км/с$. Если количество значащих цифр>3 - баллы не ставятся. Если потерян знак, то баллы за ускорения не ставятся. |
6 × 0.10 |
|
1
Получены численные значения: $a_{max}=8.6~g_0$. $h_c=45.5~км$. Если количество значащих цифр>3 - баллы не ставятся. Если потерян знак, то баллы за ускорение не ставятся. |
2 × 0.10 |
|
1
Получено выражение для $v_s$: $v_s=\sqrt{g_0 r_0}$. |
0.10 |
|
1
Записано уравнение с учетом приближений: $0=-L/mv+g_0/v-v/r_0$. |
0.20 |
|
2
Получен ответ для $v$: $v=v_s\bigg/\sqrt{1+\dfrac{C_L \rho_0 r_0 S}{2m}\cdot e^{-\beta h}}$. Если выражено через неверные величины - ставится 0.1 балл. |
2 × 0.10 |
|
1
Получено выражение для $a$: $a=-\dfrac{C_D}{C_L}\left(g_0-\dfrac{v^2}{r_0}\right)$. |
0.40 |
|
2 Выражено через неверные величины. | -0.10 |
|
1
С учетом приближений получено уравнение: $vdv=a ds$. |
0.20 |
|
2
Получен ответ для $s$: $s=\dfrac{C_L}{2C_D}r_0\ln\dfrac{v_s^2-v_2^2}{v_s^2-v_1^2}$. |
0.30 |
|
3 Ответ выражен через неверные величины. | -0.20 |
|
Найдите значения скорости (в км/c) и ускорения за счет сопротивления воздуха (в единицах $g_0$) на высотах $h_1 = 80~\text{км}$, $h_1 = 60~\text{км}$, $h_1 = 40~\text{км}$.
1
Получены численные значения: $h=80~км$: $a=-0.13~g_0$, $v=7.3~км/с$. $h=60~км$: $a=-0.65~g_0$, $v=4.1~км/с$. $h=40~км$: $a=-0.87~g_0$, $v=1.2~км/с$. Если количество значащих цифр>3 - баллы не ставятся. Если потерян знак, то баллы за ускорения не ставятся. |
6 × 0.10 |
|
1
Получено верное значение $s$: $s=11.4\cdot 10^3~ км$ Если количество значащих цифр>3 - баллы не ставятся. |
0.20 |
|
Примечание: Может быть удобным записать ЗСЭ в точке апоцентра или перицентра.
1
Получено выражение для $E$: $E=-\dfrac{GMm}{2a}$ |
0.10 |
|
2
Получено выражение для $L$: $L=m\sqrt{GMa(1-e^2)}$. |
0.30 |
|
1
Получены ответы: $P=-\alpha v^2$. $\dfrac{d}{dt}\vec L=-\alpha [\vec r, ~\vec v]$. |
2 × 0.10 |
|
1 Использовано соотношение $[\vec r, ~\vec v]=\dfrac{\vec L}{m}$ | 0.10 |
|
2
Получен ответ для $\vec L$: $\vec L=\vec L_0 \exp\left(-\dfrac{\alpha}{m}t\right)$. |
0.10 |
|
Примечание: Может быть удобным использовать выражение $\vec L=mr^2 \vec\omega$.
1
Подставлено ускорение без трения: $\vec a=-\dfrac{GM}{r^2}\vec e_r$ |
0.05 |
|
2 Использована формула для дифференцировании орт $\frac{d}{dt}\vec{e}_i = [\vec{\omega}, \vec{e}_i]$. | 0.05 |
|
3
Получены $\beta$ и $\vec e_i$: $\beta=GMm$. $\vec e_i=\vec e_r$. |
2 × 0.10 |
|
1
Получено выражение: $(\vec r, ~[\vec v, ~\vec L])=GMmr(1+e\cos{\varphi})$. |
0.10 |
|
2
Использовано свойство смешанного произведения: $(\vec r, ~[\vec v, ~\vec L])=L^2/m$ |
0.10 |
|
3
Получен ответ для $r$: $r=\dfrac{L^2/GMm^2}{1+e\cos{\varphi}}$. Если в пункте $\varphi$ отсчитывается от $\vec e_\varphi$, и дальше используется также, то баллы за следующие пункты не снимаются. |
0.10 |
|
1
Возведено выражение (1) в квадрат: $[\vec v, ~\vec L]^2=v^2L^2=(GMm)^2(1+e^2+2e\cos{\varphi})$ |
0.20 |
|
2
Получен ответ для квадрата скорости $v^2$: $v^2=\dfrac{(GMm)^2}{L^2}(1+e^2+2e\cos{\varphi})$ |
0.30 |
|
Примечание: Может быть удобным выразить квадрат средней скорости из усредненного ЗСЭ ($\langle T+U\rangle=\langle E\rangle$, где $T$ - кинетическая энергия, $U$ - потенциальная).
1
Записано выражение для среднего по времени за период: $\langle x \rangle= \dfrac{1}{\tau} \int\limits_{0}^{\tau}xdt$. |
0.10 |
|
2
Использовано соотношение: $\dfrac{d\varphi}{dt}=\dfrac{L}{mr^2}$. |
0.10 |
|
3
Получен ответ: $\langle v^2 \rangle= \dfrac{L}{m\tau} \int\limits_{0}^{2\pi}\dfrac{1+e^2+2e\cos{\varphi}}{(1+e\cos{\varphi})^2}d\varphi$. |
0.20 |
|
1 Интеграл сведен к виду $B+C\int\limits_{0}^{2\pi}\dfrac{d\varphi}{1+e\cos{\varphi}}$ | 0.50 |
|
2
Получен ответ вида: $\langle \dot E \rangle= -k\dfrac{GM\alpha}{a}$. |
0.30 |
|
3 $k=1$ | 0.20 |
|
1
Из результата D8 получено: $a=a_0 \exp\left(-\dfrac{2\alpha}{m}t\right)$. |
0.20 |
|
2
Получено выражение для $e$: $e=e_0$. |
0.20 |
|
1
Получено верное значение: $T=40~сут$. |
0.10 |
|