Logo
Logo

Космический корабль в атмосфере

A1  0.20 Сначала получим точные уравнения, которые описывают динамику космического корабля. Выразите производные по времени от высоты $h$ и дальности $s$ через $v$, $\gamma$, $r_0$, $r$.

2 Получено выражение:

$\dot h=-v \sin{\gamma}$
0.10
3 Получено выражение:

$\dot s= v\cos{\gamma}\cdot r_0/r$

0.10
A2  1.00 Найдите производные модуля скорости $v$ и угла $\gamma$. Также в ответ могут входить подъемная сила $L$, сила сопротивления воздуха $D$, ускорение свободного падения на данной высоте $g$, масса космического корабля $m$, $v$, $\gamma$, $r$.

1 Записаны уравнения движения на оси(ускорение в любом виде):
$a_\tau=-D/m+g\sin{\gamma}$.
$a_n=-L/m+g\cos{\gamma}$.
2 × 0.10
2 Получено выражение для $a_n$:

$a_n=(\dot\gamma +v\cos{\gamma}/r)v$

0.40
3 Получены выражения для $\dot\gamma$ и $\dot v$:

$\dot v= -D/m+g\sin{\gamma}$.
$\dot\gamma=-L/mv+g\cos{\gamma}/v-v\cos{\gamma}/r$.
2 × 0.20
4 Неверное направление $\gamma$. Далее ставятся полные баллы, даже при неправильном направлении $\gamma$. -0.30
B1  0.40 Получите выражение для производной $dv/dh$. Представьте ответ в виде $$ \frac{dv}{dh} = A f(v,\,h), $$ где $A$ — постоянная, которая может зависеть от всех постоянных, характеризующих космический корабль и атмосферу ($m$, $S$, $C_D$, $C_L$, $\rho_0$, $\beta$, $\gamma$), а $f$ — некоторая функция высоты и скорости. В дальнейшем используйте постоянную $\mathbf{A}$ для записи ответов.

1 Использовано выражение:

$\dot v/\dot h= dv/dh$.
0.10
2 Получен ответ для $dv/dh$:

$dv/dh=\dfrac{\rho_0 C_D S}{2m\sin{\gamma}}\cdot ve^{-\beta h}$.
0.30
B2  0.80 Найдите зависимость скорости космического корабля от высоты. На начальной высоте $h_0$ скорость была равна $v_0$. Выразите ответ через $A$, $\beta$, $h$, $v_0$, $h_0$. Также получите приближенный ответ, считая, что на высоте $h_0$ плотность атмосферы пренебрежимо мала (в этом случае в ответ не должна входить $h_0$). Далее везде используйте приближенное выражение.

1 Получено уравнение вида:

$\dfrac{dv}{v}=Ae^{-\beta h}dh$
0.20
2 Получено интегральное соотношение:

$v=v_0\exp\left(-\dfrac{A}{\beta}\cdot\left (e^{-\beta h}-e^{-\beta h_0}\right)\right)$
0.30
3 Получено выражение с учетом приближения:

$v=v_0\exp\left(-\dfrac{A}{\beta}e^{-\beta h}\right)$
0.30
4 Ответы выражены через неверные величины. -0.20
B3  0.30 Найдите зависимость ускорения $a$ (то есть производной модуля скорости) космического корабля от высоты. Выразите ответ через $v_0$, $A$, $\beta$, $h$, $\gamma$.

1 Выражение для производной сложной функции:

$\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{dv}{dh}\dfrac{dh}{dt}$
0.10
2 Получено выражение для $a$:

$a=-Av_0^2\sin{\gamma}\cdot e^{-\beta h}\exp\left(-\dfrac{2A}{\beta}e^{-\beta h}\right)$
0.20
3 Ответы выражены через неверные величины. -0.10
B4  0.50 Найдите высоту $h_c$, на которой модуль ускорения максимален. Получите формулу для максимального значения модуля ускорения $a_{\text{max}}$ и скорости $v_с$ на высоте $h_с$. Выразите ответы через $A$, $\beta$, $\gamma$, $v_0$.

1 Получено уравнение вида:

$\beta-2Ae^{-\beta h}=0$
0.20
2 Получен ответ для $h_c$:

$h_c=\dfrac{1}{\beta}\ln\dfrac{2A}{\beta}$.
0.10
3 Получен ответ для $a_{max}$:

$a_{max}=\dfrac{\beta v_0^2\sin{\gamma}}{2e}$

Если потерян знак, то пункт оценивается в 0 баллов.
0.10
4 Получен ответ для $v_c$:

$v_c=v_0e^{-1/2}$.
0.10
B5  0.60 Для приведенных численных данных найдите скорость (в км/c) и ускорение (в единицах $g_0$) на высотах $h_1 = 80~\text{км}$, $h_2 = 60~\text{км}$, $h_3 = 40~\text{км}$.

1 Получены численные значения:

$h=80~км$: $a=-0.20~g_0$, $v=7.7~км/с$.

$h=60~км$: $a=-2.8~g_0$, $v=7.2~км/с$.

$h=40~км$: $a=-5.9~g_0$, $v=2.7~км/с$.

Если количество значащих цифр>3 - баллы не ставятся. Если потерян знак, то баллы за ускорения не ставятся.
6 × 0.10
B6  0.20 Найдите максимальное ускорение (в единицах $g_0$) и критическую высоту $h_c$, при которой оно достигается.

1 Получены численные значения:

$a_{max}=8.6~g_0$.

$h_c=45.5~км$.

Если количество значащих цифр>3 - баллы не ставятся. Если потерян знак, то баллы за ускорение не ставятся.
2 × 0.10
C1  0.10 Найдите первую космическую скорость $v_s$ — скорость движения космического корабля по круговой орбите, радиус которой равен радиусу Земли. Выразите ответ через $r_0$, $g_0$.

1 Получено выражение для $v_s$:

$v_s=\sqrt{g_0 r_0}$.
0.10
C2  0.40 Определите скорость, с которой космический корабль должен двигаться на высоте $h$ при описанном во введении к этой части движении. Выразите ответ через $v_s$, $\rho_0$, $\beta$, $C_L$, $S$, $m$, $r_0$, $h$.

1 Записано уравнение с учетом приближений:

$0=-L/mv+g_0/v-v/r_0$.
0.20
2 Получен ответ для $v$:

$v=v_s\bigg/\sqrt{1+\dfrac{C_L \rho_0 r_0 S}{2m}\cdot e^{-\beta h}}$.

Если выражено через неверные величины - ставится 0.1 балл.
2 × 0.10
C3  0.40 Определите ускорение $a$ (производную модуля скорости), создаваемое силой сопротивления воздуха при таком движении. Выразите ответ через $v$, $C_L$, $C_D$, $r_0$, $g_0$.

1 Получено выражение для $a$:

$a=-\dfrac{C_D}{C_L}\left(g_0-\dfrac{v^2}{r_0}\right)$.
0.40
2 Выражено через неверные величины. -0.10
C4  0.50 Пусть начальная скорость космического корабля $v_1< v_s$, конечная скорость $v_2 < v_1$. Найдите горизонтальное перемещение корабля $s$ за время движения. Считайте, что все изменение модуля скорости происходит за счет силы сопротивления воздуха. Выразите ответ через $r_0$, $C_L$, $C_D$, $v_s$, $v_1$, $v_2$.

1 С учетом приближений получено уравнение:

$vdv=a ds$.
0.20
2 Получен ответ для $s$:

$s=\dfrac{C_L}{2C_D}r_0\ln\dfrac{v_s^2-v_2^2}{v_s^2-v_1^2}$.
0.30
3 Ответ выражен через неверные величины. -0.20
C5  0.60 Пусть для космического корабля заданы следующие параметры:

  • $m  = 84 \times 10^3~\text{кг}$
  • $S = 250~\text{м}^2$
  • $C_D = 0.8$
  • $C_L = 0.9$

Найдите значения скорости (в км/c) и ускорения за счет сопротивления воздуха (в единицах $g_0$) на высотах $h_1 = 80~\text{км}$, $h_1 = 60~\text{км}$, $h_1 = 40~\text{км}$.

1 Получены численные значения:

$h=80~км$: $a=-0.13~g_0$, $v=7.3~км/с$.

$h=60~км$: $a=-0.65~g_0$, $v=4.1~км/с$.

$h=40~км$: $a=-0.87~g_0$, $v=1.2~км/с$.

Если количество значащих цифр>3 - баллы не ставятся. Если потерян знак, то баллы за ускорения не ставятся.
6 × 0.10
С6  0.20 В условиях предыдущего пункта рассчитайте дальность горизонтального перемещения космического корабля при опускании с высоты $h_0 = 90~\text{км}$ до высоты $h_f = 30~\text{км}$.

1 Получено верное значение $s$:

$s=11.4\cdot 10^3~ км$

Если количество значащих цифр>3 - баллы не ставятся.
0.20
D1  0.40 Запишите выражения для энергии $E$ и момента импульса $L$. Выразите ответ через $G, m, a, e, M$.

 

Примечание:  Может быть удобным записать ЗСЭ в точке апоцентра или перицентра. 

1 Получено выражение для $E$:

$E=-\dfrac{GMm}{2a}$
0.10
2 Получено выражение для $L$:

$L=m\sqrt{GMa(1-e^2)}$.
0.30
D2  0.20 Запишите уравнение моментов и выражение для мощности силы трения $P$. Выразите ответ через $\vec r, \vec v, \alpha$.

1 Получены ответы:

$P=-\alpha v^2$.
$\dfrac{d}{dt}\vec L=-\alpha [\vec r, ~\vec v]$.
2 × 0.10
D3  0.20 Получите выражение для зависимости $\vec L$ от $t$, если в момент времени $t=0$ $~\vec L=\vec L_0$. Выразите ответ через $\alpha$, $m$, $\vec L_0$.

1 Использовано соотношение $[\vec r, ~\vec v]=\dfrac{\vec L}{m}$ 0.10
2 Получен ответ для $\vec L$:

$\vec L=\vec L_0 \exp\left(-\dfrac{\alpha}{m}t\right)$.
0.10
D4  0.30 Покажите что: $$[\vec a, \vec L]=\beta \frac{d}{dt}\vec e_i$$ Где $\vec a$ — ускорение ракеты, $\vec e_i$ — некоторый единичный вектор полярных координат с началом в центре Земли. Найдите $\vec e_i$ и $\beta$. 

 

Примечание: Может быть удобным использовать выражение $\vec L=mr^2 \vec\omega$.

1 Подставлено ускорение без трения:

$\vec a=-\dfrac{GM}{r^2}\vec e_r$
0.05
2 Использована формула для дифференцировании орт $\frac{d}{dt}\vec{e}_i = [\vec{\omega}, \vec{e}_i]$. 0.05
3 Получены $\beta$ и $\vec e_i$:

$\beta=GMm$.
$\vec e_i=\vec e_r$.
2 × 0.10
D5  0.30 Домножая выражение (1) на $\vec r$ скалярно и используя результаты пункта D4, получите зависимость модуля радиус-вектора $\vec r$ от $\varphi$ — угла между векторами $\vec A$ и $\vec e_r$. Выразите ответ через $L, m, G, e, \varphi, M$.

1 Получено выражение:

$(\vec r, ~[\vec v, ~\vec L])=GMmr(1+e\cos{\varphi})$.
0.10
2 Использовано свойство смешанного произведения:

$(\vec r, ~[\vec v, ~\vec L])=L^2/m$
0.10
3 Получен ответ для $r$:

$r=\dfrac{L^2/GMm^2}{1+e\cos{\varphi}}$.

Если в пункте $\varphi$ отсчитывается от $\vec e_\varphi$, и дальше используется также, то баллы за следующие пункты не снимаются.
0.10
D6  0.50 Используя выражение (1) и результаты пункта D4, получите зависимость квадрата скорости $v^2$ от $\varphi$. Выразите ответ через $L, G, m, e, \varphi, M$.

1 Возведено выражение (1) в квадрат:

$[\vec v, ~\vec L]^2=v^2L^2=(GMm)^2(1+e^2+2e\cos{\varphi})$
0.20
2 Получен ответ для квадрата скорости $v^2$:

$v^2=\dfrac{(GMm)^2}{L^2}(1+e^2+2e\cos{\varphi})$
0.30
D7  0.40 Получите выражение для среднего по времени квадрата скорости $\langle v^2\rangle $ в виде интеграла по углу $\varphi$. Выразите ответ через $  L,  m,  e,  M, G, a, \varphi, \tau$ — период обращения ракеты.

 

Примечание: Может быть удобным выразить квадрат средней скорости из усредненного ЗСЭ ($\langle T+U\rangle=\langle E\rangle$, где $T$ - кинетическая энергия, $U$ - потенциальная).

1 Записано выражение для среднего по времени за период:

$\langle x \rangle= \dfrac{1}{\tau} \int\limits_{0}^{\tau}xdt$.
0.10
2 Использовано соотношение:

$\dfrac{d\varphi}{dt}=\dfrac{L}{mr^2}$.
0.10
3 Получен ответ:

$\langle v^2 \rangle= \dfrac{L}{m\tau} \int\limits_{0}^{2\pi}\dfrac{1+e^2+2e\cos{\varphi}}{(1+e\cos{\varphi})^2}d\varphi$.
0.20
D8  1.00 Получите выражение для $ \langle\dot E\rangle $. Выразите ответ через $G, m, a, e, M$.

1 Интеграл сведен к виду $B+C\int\limits_{0}^{2\pi}\dfrac{d\varphi}{1+e\cos{\varphi}}$ 0.50
2 Получен ответ вида:

$\langle \dot E \rangle= -k\dfrac{GM\alpha}{a}$.
0.30
3 $k=1$ 0.20
D9  0.40 Используя результаты пунктов D1, D3, D8, получите зависимости $a$ и $e$ от $t$, если в момент времени $t=0$ $a=a_0$, $e=e_0$.

1 Из результата D8 получено:

$a=a_0 \exp\left(-\dfrac{2\alpha}{m}t\right)$.
0.20
2 Получено выражение для $e$:

$e=e_0$.
0.20
D10  0.10 Найдите время снижения орбиты $T$ с высоты $h_0=408~км$ до высоты $h=400~км$, если параметр $\alpha=7.17\cdot 10^{-5}~кг/с$, масса $m=420~т$, $r_0=6378~км$. Выразите ответ в сутках.

1 Получено верное значение:

$T=40~сут$.
0.10