При наблюдении за воздушными пузырьками, всплывающими в жидкости, можно заметить, что их форма очень сильно зависит от объёма воздуха внутри пузырьков и может быть как близкой к сферической, так и напоминать тонкий диск. Данная задача посвящена изучению форм воздушных пузырьков, всплывающих в жидкости. При решении задачи примем следующую модель явления:
Рассмотрим шар радиусом $R$, движущийся со скорость $\vec{v}_0$ в бесконечном объёме несжимаемой жидкости плотностью $\rho$ с нулевой вязкостью. Шар приводит жидкость в движение. Напомним, что гравитационным полем можно пренебречь. Движение жидкости характеризуется величиной $\mu$, называемой присоединённой массой. С присоединённой массой связаны следующие характеристики движущейся жидкости:
Пусть $\vec{r}$ — радиус-вектор, проведенный из центра шара в произвольную точку пространства, а $\vec{v}(\vec{r})$ — скорость соответствующего кусочка жидкости в лабораторной системе отсчёта. При решении задачи вам понадобится теорема Томсона, утверждающая, что если изначально неподвижную несжимаемую жидкость с нулевой вязкостью привести в движение, то циркуляция вектора скорости жидкости по любому замкнутому контуру, не пересекающему поверхности движущихся в жидкости тел, обращается в ноль, что можно записать следующим образом: $$\oint_l\vec{v}d\vec{l}=0{.} $$ В пунктах A1 - A9 будем решать задачу в в системе отсчёта, связанной с шаром. Скорость жидкости в этой системе отсчёта будем обозначать как $\vec{v}_{\text{отн}}$.
A1 0.30 Чему равен поток вектора относительной скорости жидкости через произвольную замкнутую поверхность, не пересекающую поверхность шара? Ответ обоснуйте.
Примечание: потоком вектора относительной скорости жидкости через замкнутую поверхность называется величина $\Phi$, определяемая выражением: \begin{equation*} \Phi=\oint_S\vec{v}_\text{отн}\bigl(\vec{r}\bigr)d\vec{S}{.} \end{equation*}
A4 0.40 Рассмотрим сверхпроводящее тело, помещенное в однородное магнитное поле с индукцией $\vec{B}_0$. Напишите выражение для циркуляции магнитного поля $\vec{B}(\vec{r})$ по контуру, не пересекающему поверхность сверхпроводника, и выражение для потока магнитного поля через замкнутую поверхность, не пересекающую поверхность сверхпроводника. Также укажите граничные условия магнитного поля на границе тела и на бесконечном удалении от него.
Поскольку шар движется в жидкости с постоянной скоростью, в системе отсчёта шара движение жидкости является стационарным. Это позволяет получить распределение давления на поверхности шара.
A7
0.40
Рассмотрим стационарное движение несжимаемой жидкости с нулевой вязкостью по тонкой трубке. Пусть $p$ — давление в жидкости, $\varphi$ — потенциальная энергия единицы массы жидкости, а $v$ — скорость течения в трубе.
Используя законы сохранения энергии и массы, покажите, что для всех точек трубки выполняется соотношение (уравнение Бернулли): $$\varphi + \frac{p}{\rho} + \frac{ v_\text{отн}^2}{2} = const$$
Пусть $\theta$ — угол между радиус-вектором $\vec{r}$ и скоростью $\vec{v_0}$.
Вернёмся в лабораторную систему отсчёта. В лабораторной системе отсчёта скорость жидкости в точке с радиус-вектором $\vec{r}$ равна $\vec{v}(\vec{r})$
Если вы не смогли решить предыдущий пункт, в дальнейшем можете считать $\mu = \frac{4}{3}\pi R^3\rho$.
Поскольку пузырь не является твёрдым телом, в результате движения он будет деформироваться. В дальнейшем считайте его деформацию малой.
Рассмотрим движение пузыря с коэффициентом поверхностного натяжения $\sigma$ со скоростью $v_0$. Считайте применимыми все выражения, полученные в предыдущих пунктах. Давление внутри пузыря всюду одинаково и равно $p_{in}$.
A14 0.30 Получите зависимость кривизны $K$ поверхности пузыря от угла $\theta$. Используйте $p_{in}$, $p_0$, $\rho$, $\theta$ и $v_0$.
Примечание: кривизной $K$ поверхности называется сумма обратных главных радиусов кривизны: $$ K=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$$
Она связана с Лапласовым давлением как:
$$\Delta p = \sigma K$$
Рассмотрим эллипсоид, получаемый из эллипса с большой полуосью $a$ и малой полуосью $b$ вращением относительно малой оси. Ось вращения обозначим за $y$.
Эту фигуру можно получить сжатием сферы радиусом $a$ вдоль оси $y$ с коэффициентом $k$, где $k = b/a$. Найдём кривизну поверхности полученной фигуры в произвольной точке $A'$, которой до сжатия соответствовала точка $A$ и угол $\theta$, отсчитываемый от оси $y$.
Можно показать, что в плоскости $(x, y)$ радиус кривизны эллипсоида равен:
$$R_1(\theta)= \frac{a}{k} \cdot (\cos^2{\theta} + k^2 \sin^2{\theta})^\frac{3}{2},$$
а в плоскости, содержащей нормаль к эллипсоиду в точке $A'$ и перпендикулярной плоскости $(x, y)$, радиус кривизны эллипсоида равен:
$$R_2(\theta) = \frac{a}{k} \sqrt{\cos^2{\theta} + k^2 \sin^2{\theta}}. $$
Так как $K(\theta)$ в части А было выведено в предположении, что капля является сферой, то отклонения от сферы должны быть маленькими. Это означает, что $k = 1-\varepsilon$, где $\varepsilon \ll1$. Также считайте, что $a \approx R$, где $R$ — радиус пузыря, который мы использовали в части А.
B1
0.60
С учётом малости $\varepsilon$ величины $R_1$ и $R_2$ можно представить в виде:
\begin{equation*}
R_1(\theta)\approx R(1+A_1\varepsilon-B_1\varepsilon\sin^2\theta)\qquad R_2\approx R(1+A_2\varepsilon-B_2\varepsilon\sin^2\theta){.}
\end{equation*}
Найдите $B_1$ и $B_2$. Далее слагаемыми $A_1\varepsilon$ и $A_2\varepsilon$ можно пренебречь.
Если вы не смогли решить данный пункт, то далее можно считать, что $B_1=B_2=1$. К потере последующих баллов это не приводит.
B5 0.80 Сферический пузырь с начальным диаметром $d = 2\text{мм}$ поднимается в воде плотностью $\rho = 10^3 \text{кг}/\text{с}$ и поверхностным натяжением $\sigma = 72 \cdot 10^{-3} ~\text{Н}/\text{м}$. Проведя необходимые измерения, вычислите скорость пузыря на последних трёх фотографиях. Также вычислите ускорение пузыря $a$.
В реальной жизни ускорение свободного падения $g$ создаст в сосуде вертикальный градиент давления, в следствие которого появится сила Архимеда $F_A$, разгоняющаяя пузырь вверх. Изначально пузырь является сферическим, но в процессе разгона, согласно теории из предыдущего пункта, он начинает сплющиваться.
Второй закон Ньютона для почти сферического пузыря будет выглядеть следующим образом:
$$m \vec{a} = m\vec{g} + \vec{F_A} + \vec{F_\mu} + \vec{F_{\text{тр}}},$$
где $m$ - масса пузыря, которой можно пренебречь, $\vec{F_A}$ — сила Архимеда, $\vec{F_\mu}$ — сила, действующая со стороны воды на пузырь, связанная с присоединённой массой воды, $\vec{F_\text{тр}}$ — сила трения, возникающая из-за эффектов турбулентности. В нашей модели $\vec{F_\text{тр}}$ хорошо описывается формулой $\vec{F_\text{тр}} = -\pi R^2 \rho v \vec{v}$, где $\vec{v}$ -скорость пузыря.
Скорость пузыря изначально равна нулю.
В больших по объёму пузырях сила поверхностного натяжения слабее, чем в маленьких, поэтому их форма при достижении постоянной скорости далека от сферической.
В общем случае форма пузерей, приведенных на рисунке выше, моделируется при помощи компьютера. Однако в предыдущих частях мы смогли изучить форму, близкую к сферической: это пузыри $a$ и $b$. В этой части мы изучим модель, применимую к пузырям $m$ и $n$.
Опишем пузырь как сегмент сферы c радиусом основания $r$. Радиус кривизны пузыря, то есть радиус сферы, постоянен и равен $R$. На фотографиях $m$ и $n$ видно, что пузыри почти плоские, а значит можно считать, что $r \ll R$. Точку на поверхности пузыря будем характеризовать малым углом $\theta$, отсчитываемым от центра кривизны. Давление воздуха внутри пузыря равно $p_{in}$.
Линии тока воды схематично обозначены на рисунке. Будем считать, что распределение скоростей жидкости $\vec{v}_{\text{отн}}(\vec{r})$ над пузырём точно такое же, как и в случае движения твёрдого шара радиусом $R$ со скоростью $v_0$. Ускорение свободного падения $g$.
Пусть пузырь всплывает в глубоком водоёме. Давление на поверхности водоёма равно атмосферному $p_0$. Расстояние от поверхности водоёма до точки $A$ равно $h \gg R$.