Примечание: потоком вектора относительной скорости жидкости через замкнутую поверхность называется величина $\Phi$, определяемая выражением: \begin{equation*} \Phi=\oint_S\vec{v}_\text{отн}\bigl(\vec{r}\bigr)d\vec{S}{.} \end{equation*}
| 1 Производная массы в выбранном объёме равна нулю. | 0.10 |
|
| 2 Производная массы выражена через поток. | 0.20 |
|
| 1 Правильный ответ $v_{отн, n} = 0$. | 0.10 |
|
| 1 Правильный ответ $\vec v_{\infty} = -\vec{v}_0$. | 0.10 |
|
|
1
$$\oint(\vec B, ~d\vec S)=0$$ $$\oint(\vec B, ~d\vec l)=0$$ $$B_{пов, n}=0$$ $$\vec B_{\infty}=\vec B_0$$ |
4 × 0.10 |
|
|
1
Предложено поле шара в виде: $$\vec B_ш=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\left(\dfrac{3(\vec m,~\vec r)\vec r}{r^5}-\dfrac{\vec m}{r^3}\right)$$ |
0.20 |
|
|
2
Записано уравнение для поля на поверхности: $$(\vec B, ~\vec r)=0$$ |
0.20 |
|
|
3
Получен ответ для дипольного момента шара: $$\vec{m} = -\frac{2\pi R^3}{\mu_0}\vec{B}_0$$ |
0.20 |
|
|
4
Получен верный ответ: $$\vec B=\vec B_0-\dfrac{3R^3(\vec B_0, ~\vec{r})\vec{r}}{2r^5}+\dfrac{\vec B_0 R^3}{2r^3} $$ |
0.20 |
|
| 1 Верное обоснование аналогии | 0.10 |
|
|
2
Получен ответ для $\vec v_{отн}$: $$\vec{v}_{отн}(\vec{r}) = -\vec v_0+\dfrac{3R^3(\vec v_0,~\vec{r})\vec{r}}{2r^5}-\dfrac{\vec v_0 R^3}{2r^3}$$ |
0.10 |
|
|
1
Записаны мощности сил давления: $$P_1 = p_1 \dfrac{dV}{dt} $$ $$P_2 = - p_2 \dfrac{dV}{dt}$$ |
2 × 0.10 |
|
|
2
Закон сохранения энергии: $$P=\dfrac{dT}{dt}+\dfrac{dU}{dt}$$ |
0.10 |
|
|
3
Получено верное выражение: $$\varphi + \frac{p}{\rho} + \frac{ v_\text{отн}^2}{2} = const$$ |
0.10 |
|
| 1 Из Бернулли получено: $$p(\theta) =p_{0} + \dfrac{\rho ( v^2_{0} - v^2_{отн}(\theta, R))}{2} $$ | 0.20 |
|
|
2
Найден вектор скорости на поверхности: $$\vec{v}_{пов}(\vec{e}_r) = \dfrac{3}{2} \big( -\vec{v_0}+(\vec{v_0},~\vec{e}_r)~\vec{e}_r\big)$$ |
0.10 |
|
| 3 $$\vec{v}^2_{пов}(\vec{e}_r) = \dfrac{9}{4}v_0^2 \sin^2{\theta} $$ | 0.30 |
|
|
4
$$p(\theta) = p_0 + \dfrac{\rho v_0^2}{2}\left(1 - \frac{9}{4}\sin^2{\theta}\right)$$ |
0.20 |
|
| 2 Выписан правильный интеграл для силы $F$. | 0.30 |
|
| 3 В интеграле потерян $\cos\theta$, связанный с проекцированием силы. | -0.10 |
|
| 4 Интеграл корректно взят. | 0.10 |
|
| 1 $$\vec v= \vec v_{отн}+\vec v_0$$ | 0.10 |
|
|
1
Выписан интеграл $$W_к=\int\limits_R^{\infty} \int\limits_0^\pi {\rho\pi}r^2 \sin \theta \, v^2(\theta)\,dr\,d\theta$$ |
0.20 |
|
|
2
Найдено $${v^2({\theta})}=\frac{v^2\left(1+3\cos^2\theta\right)R^6}{4r^6} $$ |
0.20 |
|
|
3
Верно вычислены интегралы: $$\int\limits_{0}^{\pi}\sin\theta(1+3\cos^2\theta)d\theta=4$$ $$\int\limits_{1}^{\infty}\dfrac{dr}{r^4}=\dfrac{1}{3}$$ |
2 × 0.10 |
|
|
4
Ответ: $$W_к=\frac{\pi \rho R^3v^2}{3} $$ |
0.20 |
|
|
1
$$\mu= \frac{2\pi \rho R^3}{3} $$ |
0.20 |
|
| 1 Использован третий закон Невтона. | 0.10 |
|
|
2
Записан второй закон Ньютона. $$\vec F_ж= \dfrac{d}{dt}\vec p$$ |
0.10 |
|
| 3 Ответ: $$\vec{F} = -\mu \vec{a}_0$$ | 0.10 |
|
Примечание: кривизной $K$ поверхности называется сумма обратных главных радиусов кривизны: $$ K=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$$
Она связана с Лапласовым давлением как:
$$\Delta p = \sigma K$$
| 1 Получено $$K= \frac{1}{\sigma} \left( p_{in} - p_0 - \frac{\rho v_0^2}{2} + \frac{9\rho v_0^2}{8} \sin^2\theta \right)$$. | 0.30 |
|
|
1
Получено: $$B_1 = 3$$ $$B_2 = 1$$ |
2 × 0.30 |
|
|
1
Получен ответ: $$K(\theta) = \frac{1}{R}\left(2 + 4\varepsilon \sin^2{\theta} \right)$$ |
0.20 |
|
| 1 Приравнены коэффициенты перед $\sin^2{\theta}$. | 0.30 |
|
|
2
$$ \varepsilon = \frac{9R\rho v_0^2}{32\sigma}$$ |
0.30 |
|
| 1 $$\dfrac{b}{a}=\sqrt{1-e^2}$$ | 0.10 |
|
| 2 C учётом приближений получено: $e \approx \sqrt{2\varepsilon}$ | 0.10 |
|
| 3 $$e = \sqrt{\frac{9R\rho v_0^2}{16\sigma}}$$ | 0.10 |
|
|
1
$$ \varepsilon=0.11 , ~v_1=17 см/c$$ $$ \varepsilon= 0.26,~ v_2=26 см/c$$ $$ \varepsilon= 0.40 ,~ v_3=32 см/c$$ $$l_{23}=2.8мм, ~a=6м/c^2$$Результат для $v_1$ гораздо менее точный, чем для двух остальных, поэтому вычисление ускорения по этой точке не засчитывается. Если ответы приведены с избыточной точностью, баллы за них не ставятся. Если результат для скоростей дан с количеством значащих цифр$>$2, то баллы не ставятся. Если результат для ускорения дан с количеством значащих цифр$>$1, то баллы не ставятся. |
8 × 0.10 |
|
| 1 $$F_a=\frac{4}{3}\pi R^3 \rho g$$ | 0.10 |
|
| 2 $F_{тр}(0) = 0$ | 0.10 |
|
| 3 $F_\mu = - \mu a$ | 0.10 |
|
| 4 $a = 2g$ (или другой числовой коэффициент, полученный из результатов части А) | 0.30 |
|
| 1 $a = 0$ | 0.10 |
|
|
2
Получен ответ: $$v_{\max} = \sqrt{\frac{4}{3}Rg}$$ |
0.10 |
|
|
3
Получен ответ: $$\varepsilon = \frac{3R^2 \rho g}{8\sigma}$$ |
0.10 |
|
|
1
Получено $v_{max} =12 ~см/с $ Если результат для скорости дан с количеством значащих цифр$>$3, то баллы не ставятся. |
0.20 |
|
|
2
Получено $\varepsilon = 52\cdot 10^ {-3}$ Если результат дан с количеством значащих цифр$>$2, то баллы за пункт не ставятся |
0.20 |
|
|
3
Модель применима. Ставится только при корректном $\varepsilon$. |
0.20 |
|
| 1 Корректное доказательство. | 0.20 |
|
| 1 Сказано, что линии тока в системе отсчёта шарика постоянны в силу $h \gg R$. | 0.30 |
|
| 2 Записано уравнение Бернулли в системе отсчёта шарика с указанием используемых точек. (Одна точка на поверхности водоёма, вторая на поверхности шара) | 0.30 |
|
| 3 $$p(\theta) = p_0 +\rho g h + \rho \dfrac{v_0^2}{2} + \rho g R(1 - \cos{\theta}) - \dfrac{9}{8}\rho v_0^2 \sin^2{\theta}$$ | 0.40 |
|
| 1 Выражение разложено до второго порядка малости: $$p(\theta) = p_0 +\rho g h + \rho \dfrac{v_0^2}{2} + \rho g R \cdot \dfrac{\theta^2}{2} - \dfrac{9}{8}\rho v_0^2 \cdot \theta^2$$ | 0.30 |
|
| 2 Приравниваются коэффициенты перед $\theta^2$. | 0.30 |
|
| 3 $$v_0 = \sqrt{\dfrac{4}{9}Rg}$$ | 0.10 |
|
|
4
$$v _ 0 = 1.16 м/c$$ Если результат дан с количеством значащих цифр$>$3, то баллы за пункт не ставятся |
0.10 |
|