Данная задача посвящена исследованию движений симметричных волчков — твёрдых тел, имеющих ось симметрии. В части A будут получены общие уравнения движения твёрдого тела, в последующих частях будут рассмотрены волчки Эйлера (на который не действуют внешние силы) и Лагранжа (движущийся в постоянном гравитационном поле).

Пусть нижняя точка волчка $O$, лежащая на оси симметрии, неподвижна, и волчок может свободно вращаться вокруг точки $O$ во всех направлениях. Масса волчка равна $m$, расстояние от $O$ до центра масс волчка равно $l$. Для описания движения введём неподвижную систему координат $OXYZ$.

Часть А. Уравнения Эйлера (2.2 балла)

Из механики известно, что движение произвольного твёрдого тела с неподвижной точкой полностью определяется единственным вектором — угловой скоростью, а значит, момент импульса и кинетическая энергия твёрдого тела однозначно выражаются через его угловую скорость и его геометрические характеристики.

Рассмотрим малый фрагмент твёрдого тела, имеющий массу $dm$ и радиус-вектор $\vec{r} = (X, Y, Z)$ относительно точки $O$ в системе координат $OXYZ$. Пусть в рассматриваемый момент тело вращается с угловой скоростью $\vec{\Omega} = (\Omega_x, \Omega_y, \Omega_z)$.

A1  ^0.20 Запишите в векторном виде выражение для мгновенной скорости $\vec{v}$ фрагмента $dm$ в рассматриваемый момент. Ответ выразите через $\vec{\Omega}$, $\vec{r}$.

A2  ^0.20 Запишите в векторном виде выражение для момента импульса $d\vec{L}$ фрагмента $dm$ в рассматриваемый момент. Ответ выразите через $\vec{\Omega}$, $\vec{r}$, $dm$.

A3  ^0.30 Получите выражения для компонент вектора $d \vec{L} = (dL_x, dL_y, dL_z)$ в системе координат $OXYZ$. Ответ выразите через $X$, $Y$, $Z$, $\Omega_x$, $\Omega_y$, $\Omega_z$, $dm$.

A4  ^0.50 Для произвольного движения твердого тела можно записать момент импульса в виде \begin{align*} L_x &= I_{xx} \Omega_x+ I_{xy} \Omega_y + I_{xz} \Omega_z;\\ L_y &= I_{yx} \Omega_x + I_{yy} \Omega_y + I_{yz} \Omega_z;\\ L_z &= I_{zx} \Omega_x + I_{zy} \Omega_y + I_{zz} \Omega_z. \end{align*} Получите выражения для коэффициентов $I_{xx}$, $I_{xy}$, $I_{xz}$, $I_{yx}$, $I_{yy}$, $I_{yz}$, $I_{zx}$, $I_{zy}$, $I_{zz}$  в виде интегралов по $dm$. Интеграл по $dm$ представляет собой сумму по бесконечно малым участкам твердого тела массы $dm$.

Например, координаты центра масс можно записать как $$X_c = \frac{1}{m} \int X dm; \quad Y_c = \frac{1}{m} \int Y dm, \quad   Z_c = \frac{1}{m} \int Z dm. $$

 В дальнейших пунктах полученные здесь формулы не используются.

Можно показать, что кинетическая энергия твердого тела имеет вид  $$
T = \frac{1}{2} \vec{L} \cdot \vec{\Omega}.
$$

Используем следующий математический факт. Оказывается, для любого твёрдого тела поворотом осей можно добиться того, что $I_{xy} = I_{yz} = I_{zx} = 0$. В этом случае выражения для $\vec{L}$ и $T$ сильно упрощаются, а $I_{xx}$, $I_{yy}$, $I_{zz}$ называются главными моментами инерции. Для краткости обозначим

$$I_{xx} = I_x, \qquad I_{yy} = I_y, \qquad I_{zz} = I_z.$$

Однако в этом случае возникает другая сложность: оси оказываются связаны с самим телом, и поэтому являются подвижными.

Направим ось $Oz$ вдоль оси симметрии волчка. Выберем оси $Ox$, $Oy$ так, чтобы они вместе с осью $Oz$ образовывали правую тройку. Из соображений симметрии очевидно, что в этом случае оси $Oxyz$ являются главными для волчка.

Пусть $\vec{e}_x$, $\vec{e}_y$, $\vec{e}_z$ — единичные векторы осей $Oxyz$. Пусть в некоторый момент волчок вращается с угловой скоростью $\vec{\omega}$, причём в системе координат $Oxyz$, связанной с волчком, $\vec{\omega} = \omega_x \vec{e}_x + \omega_y \vec{e}_y + \omega_z \vec{e}_z$.

A5  ^0.50 Получите выражения для $\vec{L}$ и $T$ в главных осях. Ответ выразите через $I_x$, $I_y$, $I_z$, $\omega_x$, $\omega_y$, $\omega_z$, $\vec{e}_x$, $\vec{e}_y$, $\vec{e}_z$.

Для изучения вращений используется основное уравнение вращательного движения:
$$\dot{\vec{L}} = \vec{M},$$ где $\vec{L}$ — момент импульса системы относительно выбранной неподвижной точки, $\vec{M}$ — суммарный момент внешних сил относительно этой точки.

Поскольку оси системы координат $Oxyz$ вращаются с угловой скоростью $\vec{\omega}$, производные единичных векторов подвижной системы координат имеют вид
$$\dot{\vec{e}}_x = \vec{\omega} \times \vec{e}_x, \quad \dot{\vec{e}}_y = \vec{\omega} \times \vec{e}_y, \quad \dot{\vec{e}}_z = \vec{\omega} \times \vec{e}_z.$$

A6  ^0.50 Получите выражения для компонент вектора $\dot{\vec{L}}$ в подвижной системы координат $\left(\dot{\vec{L}}\right)_x$, $\left(\dot{\vec{L}}\right)_y$, $\left(\dot{\vec{L}}\right)_z$. Ответ выразите через $I_x$, $I_y$, $I_z$, $\omega_x$, $\omega_y$, $\omega_z$, $\dot{\omega}_x$, $\dot{\omega}_y$, $\dot{\omega}_z$.

Из пункта A6 следует, что основное уравнение динамики в подвижных осях $Oxyz$ имеет вид
$$\begin{cases} I_x\dot{\omega}_x + (I_z-I_y)\omega_y \omega_z = M_x \\ I_y\dot{\omega}_y + (I_x-I_z)\omega_z \omega_x = M_y \\ I_z\dot{\omega}_z + (I_y-I_x)\omega_x \omega_y = M_z \end{cases}$$
Здесь $M_x$, $M_y$, $M_z$ – компоненты внешнего момента $\vec{M}$ в системе координат $Oxyz$. Эти уравнения называются динамическими уравнениями Эйлера и являются очень удобным инструментом изучения вращения твёрдого тела.

Часть В. Уравнения динамики симметричного волчка (2.1 балла)

В дальнейшем нас будет интересовать движение центра масс волчка. Положение волчка в пространстве можно задать двумя углами, аналогичными углам в сферической системе координат. Угол между осью $OZ$ и осью симметрии волчка $Oz$ обозначим $\theta$, угол поворота оси симметрии волчка вокруг $OZ$ — $\varphi$. Кроме этого, волчок может поворачиваться вокруг собственной оси симметрии, что не влияет на положение его центра масс. Таким образом, общее движение волчка представляет собой суперпозицию трех вращений:

1. Вращение относительно оси симметрии с некоторой угловой скоростью $\vec{\omega}_s$.
2. Вращение, при котором изменяется угол $\theta$, соответствующая угловая скорость $\vec{\omega}_\theta$ перпендикулярна осям $OZ$ и $Oz$.
3. Вращение, при котором изменяется угол $\varphi$, соответствующая угловая скорость $\vec{\omega}_\varphi$ направлена вдоль $OZ$.

Тогда полная угловая скорость волчка – сумма этих трех угловых скоростей $$ \vec{\omega}  = \vec{\omega}_s + \vec{\omega}_\theta + \vec{\omega}_\varphi .$$

Заметим, что в силу симметрии волчка мы можем  выбрать оси $Ox$ и $Oy$  в плоскости, перпендикулярной оси симметрии волчка произвольным образом. Воспользуемся этим и направим ось $Ox$ в заданный момент времени  в плоскости $OZz$, так, чтобы угол $xOZ$ был острым.

B1  ^0.40 Найдите проекции угловой скорости $\omega_x$, $\omega_y$, $\omega_z$. Выразите ответ через $\omega_s$, $\dot{\theta}$, $\dot{\varphi}$, $\theta$.

Рассмотрим уравнения динамики волчка в случае, когда он движется под действием силы тяжести. Пусть ускорение свободного падения равно $g$ и направлено против оси $OZ$.

В силу симметрии для рассматриваемого волчка $I_x = I_y$. Обозначим $I_x = I_y = A$, $I_z = C$ и везде далее будем использовать эти обозначения.

B2  ^0.40 Покажите, что проекция $L_1$ момента импульса $\vec{L}$ на неподвижную вертикальную ось $OZ$ постоянна. Покажите, что  проекция $L_2$ момента импульса $\vec{L}$ на подвижную ось $Oz$ постоянна. 

Если у вас не получилось доказать постоянство $L_1$, $L_2$, дальше вы можете использовать этот факт без доказательства.

B3  ^0.60 Используя результаты пункта A5, выразите значения проекций $L_1$ и $L_2$ через $\omega_s$, $\dot{\theta}$, $\dot{\varphi}$, $\theta$, $A$, $C$.

B4  ^0.70 В этом пункте будем считать, что $l = 0$, и момент силы тяжести можно не учитывать. Пусть момент импульса волчка равен $L_0$ и направлен вдоль оси $OZ$. В момент времени $t = 0$ значения углов $\theta = \theta_0$, $\varphi = \varphi_0$. Найдите зависимость углов $\theta$, $\varphi$ от времени. Такое движение называется регулярной прецессией.

Часть C. Эффективный потенциал волчка Лагранжа (1.5 балла)

В этой части будем исследовать движение волчка с учетом момента силы тяжести.

С1  ^0.60 Для произвольного положения волчка выразите полную энергию $E$ движения волчка (сумму кинетической и потенциальной) через $\omega_s$, $\dot{\theta}$, $\dot{\varphi}$, $A$, $C$, $m$, $g$, $l$, $\theta$.

С2  ^0.30 Выразите $\omega_s$ и $\dot{\varphi}$ через $L_1$, $L_2$, $A$, $C$, $
\theta$, используя результаты пункта B3.

C3  ^0.60 Используя постоянство $L_1$, $L_2$, приведите выражение для полной энергии $E$ к виду $$E = \frac{\mu}{2} \dot{\theta}^2 + U(\theta).$$ Получите выражения для $\mu$, $U(\theta)$ через $A$, $C$, $L_1$, $L_2$, $m$,$g$, $l$.

Примечание. Как известно, полная энергия определена с точностью до константы, которую для удобства можно положить равной нулю.

Из вышесказанного следует, что исследование зависимости $\theta$ от времени сводится к исследованию одномерной задачи с энергией $E$, причём $\frac{\mu}{2} \dot{\theta}^2$ можно рассматривать как кинетическую энергию, а $U(\theta)$ как потенциальную. Поэтому в данном случае $U(\theta)$ называется эффективным потенциалом.

Часть D. Различные движения волчка Лагранжа (6.2 баллов)

В этой части мы рассмотрим несколько основных возможных режимов движения волчка Лагранжа.

Физический маятник

Пусть в начальный момент $\theta = \theta_0 >0$, а волчок неподвижен. Волчок отпускают без начальной скорости.

D1  ^0.80 Найдите период колебаний волчка. Ответ получите в виде определённого интеграла, содержащего $A$, $C$, $l$, $\theta_0$, $g$. Получите также упрощённое выражение для случая $\pi - \theta_0 \ll 1$.

«Спящий» волчок

Ещё одним очевидным движением волчка является ситуация, когда $\theta = 0$ в процессе всего движения. Такой волчок называют «спящим» из-за отсутствия движения его центра масс.

Пусть «спящий» волчок вращается с угловой скоростью $\omega_0$ вокруг своей оси.

D2  ^0.20 Выразите $L_1$ и $L_2$ через $A$, $C$, $\omega_0$.

Пусть теперь «спящий» волчок слегка отклоняют от вертикального положения, при этом параметры вращения подбираются так, что $L_1$ и $L_2$ остаются равными найденным в предыдущем пункте.

D3  ^0.50 Найдите условие, связывающее $A$, $C$, $m$, $g$, $l$, $\omega_0$, при котором положение $\theta = 0$ является устойчивым для отклонений, описанных выше. Это условие называется условием Маиевского.

Оказывается, что при выполнении найденного условия положение равновесия является устойчивым даже при отказе от условия сохранения $L_1$ и $L_2$.

Регулярная прецессия

Можно показать, что для потенциала $U(\theta)$ при любых $L_1$, $L_2$ существует единственный угол $\theta_1$, являющийся положением равновесия для эквивалентной одномерной системы.

D4  ^0.70 Получите уравнение на $\theta$, которому удовлетворяет угол $\theta_1$. Уравнение может содержать $A$, $C$, $L_1$, $L_2$, $m$, $g$, $l$.

Подсказка. $U(\theta)$ можно представить в виде функции от новой переменной $s = \cos \theta$, что значительно упрощает решение.

Из пункта C2 следует, что при $\theta = \theta_1 = const$ движение является регулярной прецессией: $\dot{\varphi} = \omega_p = const$ — угловая скорость прецессии, $\omega_s = const$ — угловая скорость собственного вращения.

D5  ^0.80 Найдите возможные скорости прецессии волчка $\omega_p$ при $\theta = \theta_1$. Ответ выразите через $A$, $C$, $m$, $g$, $l$, $\omega_s$, $\theta_1$. Одним из способов решения может быть подстановка в уравнение из D4 выражений для $L_1$, $L_2$ через угловые скорости $\omega_s$, $\omega_p$.

D6  ^0.30 Получите приближенные выражения для частот в случае $mgl \ll C \omega_s^2$. Считайте, что $A$ и $C$ — величины одного порядка.

Нутация и нерегулярная прецессия

В общем случае угол $\theta$ не остаётся постоянным. Можно показать, что для потенциала $U(\theta)$ при любых $L_1$, $L_2$ в течении движения $\theta$ периодически меняется от некоторого $\theta_{min}$ до некоторого $\theta_{max}$. Такое изменение угла $\theta$ называется нутацией. При этом угол $\varphi$ меняется может меняться неравномерно, поэтому прецессия называется нерегулярной.

Рассмотрим следующую ситуацию: в начальный момент времени ось волчка горизонтальна ($\theta = \pi/2$), центр масс волчка неподвижен, волчок закручен вокруг оси симметрии с угловой скоростью $\omega_0$. Волчок освобождается без толчка.

D7  ^0.70 Определите угол $\alpha_{max}$ максимального отклонения оси волчка от горизонтали в процессе последующего движения. Ответ выразите через $A$, $C$, $m$, $g$, $l$, $\omega_0$.

Пусть теперь волчок быстро закручен, т. е. $C \omega_0^2 \gg mgl$. Считайте, что $A$ и $C$ — величины одного порядка.

D8  ^0.70 Найдите зависимость угла отклонения оси волчка от горизонтали от времени $\alpha(t)$. Ответ выразите через $A$, $C$, $m$, $g$, $l$, $\omega_0$.

D9  ^0.50 Найдите зависимость угла прецессии от времени $\varphi(t)$. В начальный момент $\varphi(0) = \varphi_0$. Ответ выразите через $A$, $C$, $m$, $g$, $l$, $\omega_0$, $\varphi_0$.

D10  ^0.50 Изобразите характерный график зависимости $\alpha(\varphi)$. Определите угол $\Delta \varphi$, на который поворачивается ось волчка между двумя последовательными возвращениями оси волчка в горизонтальное положение. Ответ выразите через $A$, $C$, $m$, $g$, $l$, $\omega_0$.

Пусть волчок представляет собой тонкий стержень массы $m$, длины $R$, к концу которого прикреплён тонкий однородный диск массы $2m$ и радиуса $R$. Точка крепления совпадает с центром диска, стержень перпендикулярен плоскости диска. Как и ранее, волчок отпускают из горизонтального положения без толчка, закрутив вокруг оси до угловой скорости $\omega_0 = \sqrt{100 \frac{g}{R}}$.

D11  ^0.50 Рассчитайте для описанной системы $\Delta \varphi$.