|
1
Получено выражение для $\vec v$ $$\vec{v} = \vec{\Omega} \times \vec{r}$$ |
0.20 |
|
|
1
Получено выражение для $d \vec L$ $$d \vec{L} = dm (\vec{r} \times (\vec{\Omega} \times \vec{r}))$$ |
0.20 |
|
|
1
Получены ответы для $dL_x$, $dL_y$, $dL_z$ $$dL_x = dm((Y^2+Z^2) \cdot \Omega_x - XY \cdot \Omega_y - XZ \cdot \Omega_z) \\ dL_y = dm(-YX \cdot \Omega_x + (Z^2 + X^2) \cdot \Omega_y - YZ \cdot \Omega_z) \\ dL_z = dm(-ZX \cdot \Omega_x - ZY \cdot \Omega_y + (X^2+Y^2) \cdot \Omega_z)$$ |
3 × 0.10 |
|
Например, координаты центра масс можно записать как $$X_c = \frac{1}{m} \int X dm; \quad Y_c = \frac{1}{m} \int Y dm, \quad Z_c = \frac{1}{m} \int Z dm. $$
В дальнейших пунктах полученные здесь формулы не используются.
|
1
Получены ответы для диагональных моментов инерции $$I_{xx} = \int (Y^2 + Z^2) dm, \qquad I_{yy} = \int (Z^2 + X^2) dm, \qquad I_{zz} = \int (X^2 + Y^2) dm$$ |
0.30 |
|
|
2
Получены ответы для центробежных моментов инерции $$I_{xy} = I_{yx} = -\int XY dm, \qquad I_{yz} = I_{zy} = -\int YZ dm, \qquad I_{zx} = I_{xz} = -\int ZX dm$$ |
0.20 |
|
|
1
Получено выражение для $\vec{L}$ $$\vec{L} = I_x \omega_x \vec{e}_x + I_y \omega_y \vec{e}_y +I_z \omega_z \vec{e}_z$$ |
0.20 |
|
|
2
Получено выражение для $T$ $$T = \frac{1}{2}(I_x \omega_x^2 + I_y \omega_y^2 + I_z \omega_z^2)$$ |
0.30 |
|
|
1
Записано выражение для $\dot{\vec{L}}$ $$\dot{\vec{L}} = I_x \dot{\omega}_y \vec{e}_x + I_y \dot{\omega}_y \vec{e}_y + I_z \dot{\omega}_z \vec{e}_z + \vec{\omega} \times \vec{L}$$ или аналогичное |
0.15 |
|
| 2 Верно посчитана хотя бы одна компонента векторного произведение $\vec\omega \times \vec{L}$ либо $\vec\omega \times \vec e_i$ ($\vec{e}_i$ – какой-нибудь из единичных ортов) | 0.15 |
|
|
3
Получены ответы для $\left(\dot{\vec{L}}\right)_x$, $\left(\dot{\vec{L}}\right)_y$, $\left(\dot{\vec{L}}\right)_z$ $$\left(\dot{\vec{L}}\right)_x = I_x\dot{\omega}_x + (I_z-I_y)\omega_y \omega_z \\ \left(\dot{\vec{L}}\right)_y = I_y\dot{\omega}_y + (I_x-I_z)\omega_z \omega_x \\ \left(\dot{\vec{L}}\right)_z = I_z\dot{\omega}_z + (I_y-I_x)\omega_x \omega_y$$ |
0.20 |
|
|
1
Получен ответ для $\omega_x$ $$\omega_x = \dot\varphi \sin \theta$$ |
0.10 |
|
|
2
Получен ответ для $\omega_y$ $$\omega_y = -\dot\theta$$ |
0.10 |
|
|
3
Получен ответ для $\omega_z$ $$\omega_z = \omega_s + \dot\varphi \cos\theta$$ |
0.20 |
|
| 1 Указано, что $L_1$ сохраняется в силу нулевой проекции момента силы тяжести на вертикальную ось | 0.10 |
|
| 2 Указано, что проекция момента силы тяжести на подвижную ось $Oz$ нулевая | 0.10 |
|
| 3 Из уравнений Эйлера получено сохранение $L_2$ | 0.20 |
|
|
2
Получен ответ для $L_1$ $$L_1 = C(\omega_s + \dot\varphi \cos\theta)\cos\theta + A \dot\varphi \sin^2 \theta$$ |
0.40 |
|
|
3
Получен ответ для $L_2$ $$L_2 = C(\omega_s + \dot\varphi \cos\theta)$$ |
0.20 |
|
|
0
Получены выражения для $L_1$, $L_2$ $$L_1 = L_0 \\ L_2 = L_0 \cos\theta$$ |
0.10 |
|
|
2
Из постоянства $L_2$ получена зависимость $\theta(t)$ $$\theta(t) = \theta_0$$ |
0.25 |
|
|
3
Получено выражение для $\dot\varphi$ через $L_0$ $$\dot\varphi = \frac{L_0}{A}$$ |
0.25 |
|
|
4
Получена зависимость $\varphi(t)$ $$\varphi(t) = \frac{L_0}{A}t + \varphi_0$$ |
0.10 |
|
|
1
Получено выражения для кинетической энергии $T$ $$T = \frac{1}{2} (C(\omega_s + \dot\varphi \cos\theta)^2 + A(\dot\theta^2 + \dot\varphi^2 \sin^2 \theta))$$ |
0.40 |
|
|
2
Получено выражения для потенциальной энергии $\Pi$ $$\Pi = mgl \cos\theta$$ |
0.10 |
|
|
3
Получено выражение для полной энергии $E$ $$E = \frac{1}{2} (C(\omega_s + \dot\varphi \cos\theta)^2 + A(\dot\theta^2 + \dot\varphi^2 \sin^2 \theta)) + mgl \cos\theta$$ |
0.10 |
|
|
1
Получено выражение для $\dot\varphi$ $$\dot\varphi = \frac{L_1 - L_2 \cos\theta}{A \sin^2 \theta}$$ |
0.15 |
|
|
2
Получено выражение для $\omega_s$ $$\omega_s = \frac{L_2}{C} - \frac{L_1 - L_2 \cos\theta}{A \sin^2 \theta}\cos\theta$$ |
0.15 |
|
Примечание. Как известно, полная энергия определена с точностью до константы, которую для удобства можно положить равной нулю.
|
1
Получен ответ для $\mu$ $$\mu = A$$ |
0.10 |
|
|
2
Получен ответ для $U(\theta)$ $$U(\theta) = \frac{(L_1 - L_2 \cos\theta)^2}{2 A \sin^2\theta} + mgl \cos\theta$$ Ответ, отличающийся на константу, считается правильным. |
0.50 |
|
| 1 Указано или используется, что $L_1 = L_2 = 0$ | 0.10 |
|
|
2
Записан закон сохранения энергии в виде $$mgl \cos \theta_0 = \frac{A \dot\theta^2}{2} + mgl \cos\theta$$ |
0.10 |
|
|
3
Получена зависимость $\dot\theta(\theta)$ $$\dot{\theta} = \pm \sqrt{\frac{2mgl}{A}(\cos{\theta_0} - \cos{\theta})}$$ |
0.10 |
|
| 4 Указано или используется, что время движения от $\theta = \theta_0$ до $\theta = \pi$ равно четверти периода | 0.10 |
|
|
5
Получено выражение для периода колебаний $T$ $$T = \sqrt{\frac{8A}{mgl}}\int\limits_{\theta_0}^{\pi}{\frac{d\theta}{\sqrt{\cos{\theta_0} - \cos{\theta}}}}$$ |
0.20 |
|
|
6
M1
Записан закон сохранения энергии в случае $\pi - \theta_0 \ll 1$ $$\frac{A \dot\theta^2}{2}+\frac{mgl \theta^2}{2} = const.$$ |
0.10 |
|
|
7
M2
С учётом малости $\pi - \theta$ выражение для периода преобразовано к интегралу $$T = 4 \sqrt{\frac{A}{mgl}} \int\limits_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$$ |
0.10 |
|
|
9
Найден период колебаний в случае $\pi - \theta_0 \ll 1$ $$T = 2\pi \sqrt{\frac{A}{mgl}}$$ |
0.10 |
|
|
1
Получен ответ для $L_1$ $$L_1 = C\omega_0$$ |
0.10 |
|
|
2
Получен ответ для $L_2$ $$L_2 = C\omega_0$$ |
0.10 |
|
|
1
Получено выражение для энергии с учётом малости угла $\theta$ $$E = \frac{A\dot\theta^2}{2} + \left(\frac{C^2 \omega_0^2}{4A} - mgl \right)\frac{\theta^2}{2}$$или посчитана вторая производная $U''(0)$ $$U''(0) = \frac{C^2 \omega_0^2}{4A} - mgl$$ |
0.15 |
|
| 2 Указано или используется, что положение равновесия устойчиво, если коэффициент перед $\theta^2$ положителен (эквивалентно $U''(0) > 0$) | 0.15 |
|
|
3
Получено условие $$\frac{C^2 \omega_0^2}{4A} > mgl$$ |
0.20 |
|
Подсказка. $U(\theta)$ можно представить в виде функции от новой переменной $s = \cos \theta$, что значительно упрощает решение.
| 1 Указано, что положение равновесия определяется из условия $U'(\theta) = 0$ | 0.20 |
|
|
2
Правильно взята производная функции $U(\theta)$ и получено уравнение $$\frac{(L_2 \cos \theta - L_1)(L_2 - L_1 \cos \theta)}{\sin^4 \theta} + Amgl = 0$$ или эквивалентное |
0.50 |
|
|
1
Получено уравнение на $\omega_p$ $$\omega_p^2 (A-C) \cos\theta_1 - \omega_p C\omega_s + mgl = 0$$ |
0.50 |
|
|
2
Найдены корни уравнения $$\omega_p = \frac{C \omega_s}{2(A-C) \cos \theta_1}\left(1 \pm \sqrt{1 - \frac{4mgl(A-C) \cos\theta_1}{C^2 \omega_s^2}}\right)$$ |
0.30 |
|
| 3 Указан только один из корней уравнения | -0.20 |
|
|
1
Получена частота «быстрой» прецессии $$\omega_p^{fast} = \frac{C\omega_s}{(A-C)\cos\theta_1}$$ |
0.10 |
|
|
2
Получена частота «медленной» прецессии $$\omega_p^{slow} = \frac{mgl}{C \omega_s}$$ |
0.20 |
|
|
1
Записан закон сохранения энергии для заданных начальных условий $$\frac{A \dot\theta^2}{2} + \frac{C^2 \omega_0^2}{2A} \mathrm{ctg}^2 \, \theta + mgl \cos \theta = 0$$ |
0.10 |
|
| 2 Указано или используется, что при максимальном угле отклонения $\dot\theta = 0$ | 0.10 |
|
|
3
Получено уравнение на максимальный угол отклонения $\alpha_{max}$ $$\sin^2{\alpha_{max}} + \frac{C^2 \omega_0^2}{2Amgl}\sin{\alpha_{max}} - 1 = 0$$ |
0.20 |
|
|
4
Выбран верный корень уравнения и получен ответ для $\alpha_{max}$ $$\alpha_{max} = \arcsin \left(\sqrt{1+\left(\frac{C^2 \omega_0^2}{4Amgl}\right)^2}-\frac{C^2 \omega_0^2}{4Amgl}\right)$$ |
0.30 |
|
| 1 На основании предыдущего пункта сделан вывод, что $\alpha_{max} \ll 1$ | 0.15 |
|
|
2
Записан закон сохранения энергии с учётом малости угла $\alpha$ $$\frac{A \dot\alpha^2}{2} + \frac{C^2 \omega_0^2}{2A} \alpha^2 - mgl\alpha = 0$$ |
0.10 |
|
|
3
Найдена угловая частота колебаний $\omega$ $$\omega = \frac{C}{A} \omega_0$$ |
0.10 |
|
|
4
Найдена амплитуда колебаний $\alpha_0$ $$\alpha_0 = \frac{Amgl}{C^2 \omega_0^2}$$ |
0.10 |
|
|
5
Найдено смещение положения равновесия $\alpha_1$ $$\alpha_1 = \alpha_0 = \frac{Amgl}{C^2 \omega_0^2}$$ |
0.10 |
|
|
6
С учётом начальных условий получена зависимость $\alpha(t)$ $$\alpha(t) = \frac{Amgl}{C^2 \omega_0^2} \left(1 - \cos \left(\frac{C}{A}\omega_0 t\right)\right)$$ |
0.15 |
|
| 1 Указано или используется, что $L_1 = 0$, $L_2 = C\omega_0$ | 0.10 |
|
|
2
Получено уравнение на $\dot\varphi$ $$\dot\varphi = \frac{C\omega_0\alpha}{A}$$ |
0.15 |
|
|
3
Уравнение проинтегрировано, и с учётом начальных условий получен ответ $$\varphi(t) = \varphi_0 + \frac{mgl}{C\omega_0} \left(t - \frac{A}{C\omega_0} \sin \left(\frac{C}{A} \omega_0 t\right)\right)$$ |
0.25 |
|
| 1 Изображён характерный график верного вида (циклоида) | 0.30 |
|
2
|
|
|
| 3 Указано или используется, что $\Delta \varphi$ равно приращению $\varphi$ за время $t = \frac{2 \pi}{\omega_0}\frac{A}{C}$ | 0.10 |
|
|
4
Получен ответ для $\Delta \varphi$ $$\Delta \varphi = \frac{2\pi Amgl}{C^2 \omega_0^2}$$ |
0.10 |
|
|
1
Рассчитаны главные моменты инерции $A$, $C$ $$A = \frac{17}{6} mR^2 \qquad \qquad C = mR^2$$ |
2 × 0.10 |
|
|
2
Рассчитано расстояние до центра масс $l$ $$l = \frac{5}{6} R$$ |
0.10 |
|
|
3
Рассчитано $\Delta \varphi$ $$\Delta \varphi = \frac{17}{120} \pi$$ |
0.20 |
|