1  ^?? Длину $L$ нерастянутого жгута и его жёсткость $k$.

Из закона сохранения энергии и условия нулевой скорости человека у поверхности воды:
$$
m g h=\frac{k(h-L)^{2}}{2}.
$$
По закону Гука $F_{упр}=k(h-L)$. Запишем второй закон Ньютона для человека в нижней точке:
$$
m a_{0}=F_{yпp}-m g=2 m g.
$$
Тогда $F_{упр}=3 m g=k(h-L)=\frac{2 m g h}{h-L}$, откуда следует, что
$$
L=h / 3=30~м, \quad k=\frac{2 m g h}{(h-L)^{2}}=\frac{9}{2} \frac{m g}{h}=35~Н/м.
$$

2  ^?? Удлинение жгута в положении равновесия.

После затухания колебаний (в положении равновесия) длина жгута увеличится на $x_{0}=m g / k=2 h / 9=20~м$.

3  ^?? Максимальную скорость $v_{\max }$ падения человека.

Максимальная скорость падения достигается в точке $D$ при пролёте через положение равновесия (см. рисунок). Запишем закон сохранения энергии:
$$
\frac{m v_{\max }^{2}}{2}=m g\left(L+x_{0}\right)-\frac{k x_{0}^{2}}{2},
$$
откуда найдём $v_{\max }=\frac{2}{3} \sqrt{2 g h}=28.3~м/с$. Обратите внимание на то, что $\sqrt{2 g h}$ - это скорость свободного падения тела с высоты $h$.

4  ^?? Время $\tau$ падения человека до поверхности воды.

Для вычисления времени падения человека до поверхности воды направим координатную ось $x$ с началом координат в точке $D$ вниз. Примем, что в момент времени $t=0$ человек пролетает мимо точки $D(x=0)$. Тогда его дальнейшее движение до точки $E$ и обратно до точки $C$ можно описать формулой $x=A \sin \omega t$. Определим время движения человека на трёх участках пути: $B C$, $C D$ и $D E$.
a) На отрезке $B C$ происходит свободное падение. Соответствующее время $\tau_{B C}=\sqrt{2 L / g}=\sqrt{2 h /(3 g)}=\tau_{0} / \sqrt{3}$, где $\tau_{0}=\sqrt{2 h / g}$ - время свободного падения с высоты $h$.
б) После пролёта человека мимо точки $C$ жгут начал натягиваться и дальнейшее движение происходило по гармоническому закону. Обозначим амплитуду колебаний $A$. Круговая частота $\omega=\sqrt{k / m}=\sqrt{9 g /(2 h)}=0.71~c^{-1}$. Время движения до точки $D$ найдём из соотношения:
$$
-x_{0}=A \sin \left(-\tau_{C D} \omega\right), \quad \text { или } \quad x_{0}=A \sin \omega \tau_{C D}.
$$
Поскольку $x_{0}=A / 2$, то $\omega \tau_{C D}=\pi / 6$, и время
$$
\tau_{C D}=\frac{\pi}{6 \omega}=\frac{\pi}{18} \sqrt{\frac{2 h}{g}}=\frac{\pi}{18} \tau_{0}.
$$
в) Время движения на отрезке $D E$ равно четверти периода $T$ колебательного процесса:
$$
\tau_{D E}=\frac{T}{4}=\frac{1}{4} \frac{2 \pi}{\omega}=\frac{\pi}{6} \sqrt{\frac{2 h}{g}}=\frac{\pi}{6} \tau_{0}.
$$
Таким образом, полное время $\tau$ падения человека до воды будет paвно
$$
\tau=\tau_{B C}+\tau_{C D}+\tau_{D E}=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{2 \pi}{9}\right) \tau_{0}=5.41~с.
$$