Как известно, распространение электромагнитных волн описывается уравнениями Максвелла. Простейшими их решениями в вакууме являются плоские волны. Однако плоские волны неограниченны в пространстве, и поэтому физически не реализуются. В этой задаче будут рассматриваться симметричные относительно оси  пучки, в которых интенсивность спадает с расстоянием до оси пучка $r$ по характерному закону $I \sim \exp(-2 r^2/w^2)$, где $w$ – характерная ширина пучка. Такие пучки называют гауссовыми  пучками. В таком пучке поле достаточно быстро убывает с расстоянием до оси, так что его ширину можно считать конечной.  В случае, если ширина пучка много больше длины волны, удается получить аналитическое решение для зависимости поля волны в пучке от координат.  Оказывается, что если в одном из сечений пучка зависимость интенсивности имеет гауссов вид, то и во всех других сечениях она также гауссова. 

Из уравнений Максвелла следует, что каждая компонента электрического и магнитного полей удовлетворяет волновому уравнению, например для $E_x$ оно имеет вид

\[ \frac{\partial^2 E_x}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 E_x}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2} = \frac{1}{c^2}  \frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2}. \tag{1} \]

Другие компоненты в этой задаче рассматривать не будем. Во всей задаче мы будем рассматривать только строго монохроматические волны с циклической частотой $\omega$, которой в вакууме отвечает длина волны $\lambda$ и волновое число $k = 2\pi/\lambda$.  Удобно рассматривать комплексные решения волнового уравнения вида

$$\hat{E}_x (x, y,z,t)= v(x, y,z)\exp(i \omega t) ,$$

где $v$ – комплексная амплитуда волны в рассматриваемой точке. 
Как и всегда, наблюдаемое поле связано с комплексным решением как:
$$E_x(x, y, z, t) = \mbox{Re} \{\hat{E_x}(x, y, z, t)\}.$$ Если $\hat{E_x}$ удовлетворяет волновому уравнению, то в силу линейности  $E_x$ также удовлетворяет волновому уравнению.

Часть А. Дифракция гауссовых пучков (2.0 балла)

В этой части получим различные оценки для гауссова пучка с помощью элементарных методов из теории дифракции. Будем считать, что пучок распространяется вдоль оси $z$, колебания поля в плоскости $z = 0$ происходят в фазе, а зависимость амплитуды от расстояния $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ до оси симметрии системы имеет вид
$$
v(x, y, 0) = E_0 \exp(- r^2/ w_0^2),
$$где $E_0$ – вещественная постоянная. Будем искать распределение амплитуды волны по экрану, расположенному в плоскости $z = L$.

A1  ^0.30 На очень больших расстояниях $L$ оцените по порядку величины размер пятна $D$ на экране. Выразите ответ через $\lambda$, $w_0$, $L$.

Для вычисления дифракционной картины будем использовать интеграл Кирхгофа, который выражает комплексную амплитуду волны в любой точке полупространства $z > 0$ в виде интеграла по поверхности $z = 0$:
$$
v(x, y, z) = - \frac{1}{i \lambda} \int dx' dy'\, \frac{v(x', y', 0) }{s} e^{-i k s},
$$где $s$ – расстояние от точки плоскости до точки наблюдения. Даже этот интеграл нельзя вычислить точно, поэтому вам потребуется использовать приближения, отвечающие случаям дифракции Фраунгофера и Френеля. Положение точки на экране будем характеризовать расстоянием $r = \sqrt{x^2 +y^2}$ до оси симметрии системы, причем будем считать $r \ll L$.

Сначала рассмотрим случай дифракции Фраунгофера. В этом случае расстояние от плоскости до точки наблюдения настолько велико, что можно считать параллельными все лучи, идущие к точке наблюдения.

A2  ^0.20 При каком ограничении на $L$ применима теория дифракции Фраунгофера? Выразите ответ через $L$, $w_0$, $\lambda$.

A3  ^0.80 Запишите в этом случае выражение для амплитуды электрического поля в виде интеграла по $dx'dy'$. Найдите выражение для амплитуды поля на экране в зависимости от расстояния до оси симметрии $r$. Также в ответ могут входить $E_0$, $w_0$, $k$.

Вам может потребоваться интеграл
$$
\int\limits_{-\infty}^{+\infty} dx\, e^{- ax^2 + i b x} = \sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{- b^2/4 a}.
$$

A4  ^0.70 Теперь рассмотрим случай дифракции Френеля. При этом расстояние $L$ произвольно, однако углы между лучами, идущими к точке наблюдения, и осью $z$ можно считать малыми. Найдите $A(z) = v(0, 0, z) \exp\left(ikz\right)$ – комплексную амплитуду на оси $Oz$ без учёта фазы плоской волны. Ответ выразите через $E_0$, $w_0$, $k$, $z$.

Часть B. Гауссов пучок как решение волнового уравнения (2.4 балла)

Поскольку гауссов пучок распространяется вдоль оси $z$, его амплитуда содержит быстро меняющийся множитель $e^{-ikz}$, будем искать поле в виде
\[ \hat{E}_x(x, y, z, t) = u(x, y, z) \exp(-i k z) \exp(i \omega t), \tag{2}\] причём $\omega = ck$, а в плоскости $z = 0$
$$
u(r, 0) =E_0 \exp(- r^2/w_0^2).
$$

B1  ^0.30 Подставьте $(2)$ в $(1)$ и получите дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет $u(x, y, z)$.

Предположим, что $u(x, y, z)$ – функция, мало меняющаяся вдоль $Oz$ на расстоянии $\sim \lambda$. Это означает, что $(2)$ описывает плоскую волну, модулированную функцией, медленно меняющейся на расстояниях порядка длины волны. Математически это условие записывается в виде: \[ \left|\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\right| \ll \left|k \frac{\partial u}{\partial z}\right|. \tag{#}\] В этом приближении уравнение пункта B1 принимает вид: \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} - 2 i k \frac{\partial u}{\partial z} = 0. \tag{3} \]

Как и раньше $r = \sqrt{x^2 + y^2}$. Гауссову пучку отвечает решение уравнения $(3)$ вида:
\[ u(r, z) = A(z) \exp \left(-\frac{i k r^2}{2 q(z)} \right), \tag{4}\]где $A(z)$, $q(z)$ – комплекснозначные функции, причем функция $A(z)$ – комплексная амплитуда волны на оси симметрии, найденная в предыдущей части. Далее в этой части вам предстоит определить функцию $q(z)$.

B2  ^0.50 Покажите, что сумма вторых частных производных $u$ по «поперечным» координатам $x$, $y$ представима в виде:
$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \left[-2 i \chi(z) - \chi^2(z) \cdot r^2 \right]\cdot u.$$ Выразите $\chi(z)$ через $q(z)$, $k$.

B3  ^0.30 Покажите, что частная производная $u$ по $z$ представима в виде:
$$\frac{\partial u}{\partial z} = \left[\frac{A'(z)}{A(z)} + i \zeta(z) \cdot r^2 \right] \cdot u.$$Выразите $\zeta(z)$ через $q(z)$, $q'(z)$, $k$.

Подстановка результатов пунктов B1, B2 в $(3)$ и сокращение на $u$ приводит к соотношению:
\[-2 i k \frac{A'(z)}{A(z)} - 2 i \chi(z) + \left[2 k \zeta(z) - \chi^2(z) \right] \cdot r^2 = 0. \tag{5}\] Необходимым условием для его выполнения является независимость левой части от $r$, то есть
$$2k \zeta(z) - \chi^2(z) = 0.$$

B4  ^0.40 Получите дифференциальное уравнение на $q(z)$. Решите его с начальным условием
$$q(0) = i z_0,$$ где $z_0$ – действительная величина, $z_0 > 0$. Выразите $z_0$ через $w_0$, $k$.

Отметим, что приближение $(\#)$ будет верно при условии $k z_0 \gg 1$, что будем считать выполненным везде далее.

Обозначим
$$\frac{1}{q(z)} = \frac{1}{R(z)} - i\frac{2}{kw^2(z)},$$где $R(z)$, $w(z)$ – вещественнозначные функции.

B5  ^0.20 Выразите $R(z)$ и $w(z)$ через $k$, $z$, $z_0$.

B6  ^0.40 Проверьте, что найденная в части A функция $A(z)$ действительно удовлетворяет уравнению $(5)$, то есть при ее подстановке слагаемые, не содержащие $r^2$, обращаются в 0.

B7  ^0.30 Представим функцию $A(z) $ в виде
$$
A(z) = A_0 (z) e^{i \psi (z)}
$$с вещественными $A_0$ и $\psi$. Выразите $A_0$ и $\psi$ через $z$, $z_0$, $E_0$.

Часть С. Характеристики гауссова пучка (4.0 балла)

В рассматриваемом приближении интенсивность света в произвольной точке равна
$$I = \beta \langle E^2 \rangle,$$ где $\beta$ – константа, $\langle E^2 \rangle$ – средний по времени квадрат напряжённости поля в этой точке. Также в рассматриваемом приближении энергия поля переносится волной вдоль оси $Oz$, передача энергии в перпендикулярном направлении отсутствует.

C1  ^0.50 Найдите распределение интенсивности в пучке $I(r, z)$. Ответ выразите через $\beta$, $A_0(z)$, $w(z)$. Изобразите характерный график распределения интенсивности в радиальном направлении при фиксированном $z$.

C2  ^0.40 Найдите полную мощность излучения $P$, передаваемого пучком через плоскость $z = \operatorname{const}$. Ответ выразите через $\beta$, $E_0$, $k$, $z_0$, $z$.

Границей пучка будем называть точки, в которых интенсивность в $e^2$ раз меньше, чем в точке с той же координатой $z$ и лежащей на оси пучка. Более формально: если рассмотреть точку с координатой $z$ по оси $Oz$ и удалённую на расстояние $r$ от нее, то она будет лежат на границе, если: $$\frac{I(r, z)}{I(0, z)} = \frac{1}{e^2}.$$ В силу осевой симметрии решения любая плоскость $z = \operatorname{const}$ пересекает границу по окружности. Диаметр этой окружности $d(z)$ будем называть шириной пучка.

C3  ^0.40 Выразите ширину пучка $d(z)$ через $w(z)$. Постройте качественный график зависимости $d(z)$.

С4  ^0.10 Найдите минимальную ширину пучка $d_п$. Ответ выразите через $z_0$, $k$. Величина $d_п$ называется шириной перетяжки. Плоскость, перпендикулярная $Oz$, в которой ширина пучка равна ширине перетяжки, называется плоскостью перетяжки.

Волновым фронтом называется поверхность постоянной фазы волны. Через любую любую точку пространства проходит единственный волновой фронт.

C5  ^0.40 Получите уравнение, определяющее форму волнового фронта гауссова пучка, проходящего через заданную точку $(0, z_1)$. В уравнении могут присутствовать $R(z)$, $\psi(z)$, $k$, $z$, $z_1$.

Как было указано ранее, $kz_0 \gg 1$. С учётом этого можно считать функции $R(z)$ и $\psi(z)$ постоянными при малых удалениях от оси $Oz$. В этом приближении форма волнового фронта гауссова пучка совпадает с формой фронта сферической волны, наблюдаемого на некотором расстоянии $\rho(z)$ от источника. Естественно, $\rho(z_1)$ является радиусом кривизны волнового фронта гауссова пучка в точке $(0,0,z_1)$.

C6  ^0.50 Найдите радиус кривизны фронта $\rho(z_1)$. Ответ выразите через $R(z)$. Постройте график зависимости $\rho(z_1)$, указав на нём характерные особенности и их координаты.

С7  ^0.70 Пусть в некоторой точке $z = z_a$ параметры гауссова пучка $R(z_a) = R_a$, $w(z_a) = w_a$. Найдите $z_a$ и диаметр перетяжки пучка $d_п$. Ответ выразите через $R_a$, $w_a$, $k$.

C8  ^1.00 Пусть гауссов пучок с длиной волны $\lambda_0 = 10.6~мкм$ имеет ширину $d_1 = 3.398~мм$ и $d_2 = 6.760~мм$ в двух точках, расстояние между которыми $L = 10~см$. Численно рассчитайте ширину перетяжки пучка $d_п$.

Часть D. Гауссовы пучки в линзах (1.6 балла)

Рассмотрим для начала преобразование плоской волны тонкой линзой.

Пусть плоскость тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием $f$ перпендикулярна оси $Oz$, центр линзы находится в точке $(0, 0, z_л)$. На линзу падает плоская волна, одна из компонент поля в которой:
$$\hat{E}_{пx}(x, y, z, t) = \hat{E}_{0x} \exp(i (\omega t - k z)).$$ Известно, что после прохождения линзы сразу за ней напряженность поля оказывается равной:
$$\hat{E'}_{пx} (x, y, z_л, t) = \hat{E}_{пx} (x, y, z_л, t) \cdot \hat{\tau}(x, y),$$ здесь $\hat{\tau}(x,y)$ – коэффициент пропускания линзы. Известно, что для линзы он имеет вид
$$\hat{\tau}(x, y) = \exp(i \eta (x^2+y^2)),$$ $\eta = \operatorname{const}$.

D1  ^0.70 Известно, что линза изменяет фазу падающей волны таким образом, что все лучи приходят в фокус с одинаковой фазой. Используя этот факт, выразите коэффициент $\eta$ через $k$, $f$.

Для гауссовых пучков приближённо можно применить тот же закон преобразования.

D2  ^0.50 Пусть на тонкую собирающую линзу с фокусным расстоянием $f$ падает гауссов пучок, распространяющийся вдоль $Oz$. Плоскость линзы перпендикулярна оси $Oz$. Непосредственно перед линзой параметры пучка $R(z_л) = R_1$, $w(z_л) = w_1$. Известно, что после линзы он также останется гауссовым. Найдите параметры пучка $R_2$, $w_2$ непосредственно после прохождения через линзу. Диаметр линзы много больше $w_1$.

D3  ^0.40 Найдите условие, связывающее $R_1$, $w_1$ и $f$, при котором гауссов пучок сфокусируется за линзой, то есть его плоскость перетяжки будет расположена после линзы.