|
1
Сделана оценка $$D \sim \frac{\lambda L}{w_0}$$ |
0.30 |
|
|
1
Указано ограничение $$\dfrac{w_0^2}{L} \ll \lambda$$ |
0.20 |
|
| 1 Указано или используется $\dfrac{r}{L} \ll 1$ | 0.10 |
|
|
2
Для произвольной точки источника получено в приближении Фраунгофера $$s = L - x' \frac{r}{L}$$ |
0.10 |
|
| 3 Множитель $\dfrac{1}{s}$ считается постоянным для всех точек экрана | 0.10 |
|
|
4
Функця $v(r, L)$ представлена в виде интеграла $$v(r, L) = - \frac{E_0}{i \lambda L}\int dx'dy'\, \exp\left( - \frac{x^{\prime 2}+ y^{\prime 2}}{w_0^2} - ikL + ik x'\theta\right)$$ |
0.20 |
|
|
5
Получен ответ $$v(r,L) = - \frac{\pi E_0 w_0^2}{i \lambda L} \exp\left(- \frac{k^2w_0^2}{4 L^2}r^2 - ikL\right)$$ |
0.30 |
|
| 1 Указано или используется $\dfrac{r'}{z} \ll 1$ | 0.10 |
|
|
2
В приближении дифракции Френеля получено $$s = z + \frac{r'^2}{2z}$$ |
0.10 |
|
| 3 Множитель $\dfrac{1}{s}$ считается постоянным для всех точек пучка | 0.10 |
|
|
4
Функция $v(0,0,z)$ представлена в виде интеграла $$v(0, 0, z) = - \frac{\pi E_0}{i \lambda z} e^{-ikz}\int\limits_{0}^{\infty} d(r'^2)\exp\left( - \frac{r'^2}{w_0^2}- i \frac{k r'^2}{2z}\right)$$ |
0.20 |
|
|
5
Получен ответ для $A(z)$ $$A(z) = E_0 \frac{i k w_0^2/2}{z + i k w_0^2/2}$$ |
0.20 |
|
|
1
Получено уравнение $$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} - 2 i k \frac{\partial u}{\partial z} = 0$$ |
0.30 |
|
|
1
Верно рассчитаны первые производные $u$ по $x$, $y$ $$\frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{i k x}{q(z)} u \qquad \qquad \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{i k y}{q(z)} u$$ |
2 × 0.05 |
|
|
2
Верно рассчитаны вторые производные $u$ по $x$, $y$ $$\frac{\partial^2 u}{\partial^2 x} = \left[-\frac{i k}{q(z)} - \left(\frac{k x}{q(z)}\right)^2 \right] u \qquad \qquad \frac{\partial^2 u}{\partial^2 y} = \left[-\frac{i k}{q(z)} - \left(\frac{k y}{q(z)}\right)^2 \right] u$$ |
2 × 0.10 |
|
|
3
Получено $$\chi(z) = \frac{k}{q(z)}$$ |
0.20 |
|
|
1
Верно посчитана производная $u$ по $z$ $$\frac{\partial u}{\partial z} = \left[\frac{A'(z)}{A(z)} + \frac{i k q'(z)}{2 q^2(z)} r^2 \right]u$$ |
0.20 |
|
|
2
Получено $$\zeta(z) = \frac{k q'(z)}{2 q^2(z)}$$ |
0.10 |
|
|
1
Получено уравнение $$q'(z) = 1$$ |
0.20 |
|
|
2
Получено решение $$q(z) = i z_0 + z$$ |
0.10 |
|
|
3
Получен ответ $$z_0 = \frac{k w_0^2}{2}$$ |
0.10 |
|
|
1
Получено $R(z)$ $$R(z) = \frac{z^2 + z_0^2}{z}$$ |
0.10 |
|
|
2
Получено $w(z)$ $$w(z) = \sqrt{\frac{2 z_0}{k} \left(1 + \frac{z^2}{z_0^2} \right)}$$ |
0.10 |
|
| 1 Функция $A(z)$ подставлена в уравнение и получено тождество. | 0.40 |
|
|
1
Получен ответ для $A_0(z)$ $$A_0(z) = \frac{E_0}{\sqrt{1 + \frac{z^2}{z_0^2}}}$$ |
0.15 |
|
|
2
Получен ответ для $\psi(z)$ $$\psi(z) = \mbox{arctg} \left(\frac{z}{z_0}\right)$$ |
0.15 |
|
|
1
Получен ответ $$I(r, z) = \frac{1}{2} \beta A_0^2(z) \exp\left(-\frac{2r^2}{w^2(z)}\right)$$ |
0.20 |
|
| 2 Построен верный качественный график $I(r, z)$ при $z = \mbox{const}.$ | 0.30 |
|
|
1
Записано дифференциальное выражение для мощности $$dP = I(r, z) \cdot 2 \pi r dr$$ |
0.10 |
|
|
2
Получен ответ $$P = \frac{\beta \pi z_0 E_0^2}{2k}$$ |
0.30 |
|
|
1
Получен ответ $$d(z) = 2 w(z)$$ |
0.20 |
|
|
2
Построен верный характерный график при $z > 0$
|
0.10 |
|
| 3 Построен верный характерный график при $z < 0$ | 0.10 |
|
|
1
Получен ответ $$d_п = \sqrt{\frac{8 z_0}{k}}$$ |
0.10 |
|
|
1
Из условия постоянности фазы получено уравнение $$kz + \frac{k r^2}{2R(z)} - \psi(z) = kz_1 - \psi(z_1)$$ |
0.40 |
|
|
1
С учётом приближений получено выражение для волнового фронта $$z - z_1 = -\frac{r^2}{2R(z_1)}$$ |
0.10 |
|
|
2
Получен ответ $$\rho(z_1) = R(z_1)$$ |
0.10 |
|
|
3
Построен верный характерный график при $z > 0$
|
0.10 |
|
| 4 Построен верный характерный график при $z < 0$ | 0.10 |
|
|
5
Рассчитаны координаты хотя бы одного из экстремумов $(\pm z_0, \pm 2z_0)$ Баллы ставятся также, если $z_0$ выражено через иные параметры пучка. |
2 × 0.05 |
|
|
1
Записана верная система уравнений на $z_0$, $z_a$ $$\begin{cases} w_a^2 = \dfrac{2}{k}\left(z_0 + \dfrac{z_a^2}{z_0}\right) \\ R_a = z_a + \dfrac{z_0^2}{z_a} \end{cases}$$ |
2 × 0.10 |
|
|
2
Получен ответ $$z_a = \frac{R_a}{1 + \left( \dfrac{2 R_a}{k w_a^2}\right)^2}$$ |
0.25 |
|
|
3
Получен ответ $$d_п = \frac{2 w_a}{\sqrt{1 + \left(\dfrac{kw_a^2}{2R_a}\right)^2}}$$ |
0.25 |
|
|
1
Записаны верные уравнения относительно неизвестных $z$ и $z_0$ $$\begin{cases} d_1^2 = \dfrac{8 z_0}{k} \left(1 + \dfrac{(z \mp L/2)^2}{z_0^2} \right) \\ d_2^2 = \dfrac{8 z_0}{k} \left(1 + \dfrac{(z \pm L/2)^2}{z_0^2} \right) \end{cases}$$либо эквивалентное. Балл ставится в случае, если присутствует система хотя бы с одним из знаков перед $L/2$. |
0.10 |
|
|
2
M1
Система сведена к уравнениям, пригодным для численного решения, например $$\sqrt{\frac{\pi d_2^2}{4\lambda z_0} - 1} \pm \sqrt{\frac{\pi d_1^2}{4\lambda z_0} - 1} = \frac{L}{z_0}$$ |
0.30 |
|
| 3 M1 Описан метод численного решения уравнения | 0.10 |
|
|
4
M2
Получено аналитическое выражение для $z_0$: \[z_0 = \frac{d_1^2 + d_2^2 \pm \sqrt{(d_1^2 + d_2^2)^2 - \frac{16 L^2 \lambda^2}{\pi^2}(1+\alpha^2)}}{\frac{8 \lambda}{\pi} (1 + \alpha^2) }\]где $\alpha = \dfrac{\pi}{4 \lambda L} (d_2^2 - d_1^2)$ |
0.40 |
|
|
5
Получены два возможных ответа $$d_п = 0.13~мм \qquad или \qquad d_п = 0.40~мм$$ |
2 × 0.25 |
|
|
1
Приближённо рассчитана разность хода луча, попавшего в линзу на расстоянии $r$ от оси, и центрального $$\delta \approx \frac{r^2}{2f}$$ |
0.30 |
|
|
2
Записано условие синфазности $$-k \delta + \eta r^2 = 0$$ |
0.20 |
|
|
3
Получен ответ $$\eta = \frac{k}{2f}$$ |
0.20 |
|
|
1
Записана или используется комплексная амплитуда поля в плоскости перед линзой и после неё в виде $$u_1 = u_0 \exp\left(-\frac{ikr^2}{2R_1} - \frac{r^2}{w_1^2} \right) \\ u_2 = u'_0 \exp \left(-\frac{ikr^2}{2R_2} - \frac{r^2}{w_2^2} \right)$$ |
2 × 0.05 |
|
|
2
Записана комплексная амплитуда поля после преобразования в линзе в виде $$u_2 = u_0 \exp\left(-\frac{ikr^2}{2R_1} + \frac{ikr^2}{2f} - \frac{r^2}{w_1^2} \right)$$ |
0.10 |
|
|
3
Получен ответ $$R_2 = \frac{R_1 f}{f - R_1}$$ |
0.20 |
|
|
4
Получен ответ $$w_2 = w_1$$ |
0.10 |
|
| 1 Используется результат пункта С7 или явно указано, что для выполнения требуемого условия необходимо $R_2 < 0$. | 0.20 |
|
|
2
Получен ответ $$f < R_1$$ |
0.20 |
|