1  ^?? С каким по модулю ускорением $a_0$ начнёт двигаться верхний конец цепочки сразу после пережигания нити?

После пережигания нити длина вертикального участка цепочки, на край которой действует сила $F$, будет увеличиваться. Другой участок цепочки сокращающейся длины будет двигаться только под действием силы тяжести, значит модуль ускорения верхнего края цепочки сразу после пережигания и до момента полного разворота цепочки равен

2  ^?? Через какое время $\tau$ после пережигания нити вся цепочка снова выпрямится?

Способ 2.
Ответ на вопрос можно получить и другим способом. Пересядем из лабораторной системы отсчёта (далее — $ЛСО$) в неинерциальную систему отсчёта (далее — $НеИСО$), падающую вниз без начальной скорости с ускорением свободного падения $g$. В этой системе отсчёта изначально неподвижная цепочка приходит в движение под действием лишь одной силы $F$. И сумма действующих на любой элементарный (малый) участок силы тяжести и силы инерции равна нулю. В этом случае центр масс цепочки движется согласно теореме о движении центра масс с ускорением $a'=F/m$ и проходит за искомое время $\tau$ расстояние $L$. А значит $\tau=\sqrt{\frac{2L}{a'}}$, что дает тот же ответ.

3  ^?? Определите модуль скорости цепочки $v$ сразу после её распрямления.

Способ 1. Через время $\tau$ все части цепочки движутся с одинаковой скоростью, равной скорости её центра масс. А значит $v=|v_y|=|a_y| \tau$, то есть

Способ 2. Ответ на этот пункт можно получить, также используя пересадку в $НеИСО$. Скорость в данной системе отсчёта сразу после разворота цепочки равна $v'=a'\tau=\frac{F}{m}\sqrt\frac{2Lm}{F}=\sqrt{\frac{2FL}{m}}$ и направлена вверх. В данный момент выбранная система отсчёта будет двигаться вниз со скоростью $v_c=g\tau=g\sqrt\frac{2Lm}{F}$. При пересадке обратно в $ЛСО$ с учётом закона сложения скоростей получаем $v_y=v_c-v'=(g-\frac{F}{m})\sqrt{\frac{2Lm}{F}}.$ А значит $v=|v_y|$.

4  ^?? Какое количество теплоты $Q$ выделится за время $\tau$?

Способ 1. Работа $A_F$ силы $F$ равна сумме изменения механической энергии $\Delta E_{мех}$ цепочки и выделившегося количества теплоты $Q$: $A_F=\Delta E_{мех}+Q$, где $A_F=F(L-\frac{a_y \tau^2}{2}) $, $\Delta E_{мех}=\Delta \textit{К} + \Delta \textit{П} = \frac{mv^2}{2}-mg\frac{a_y \tau^2}{2}$. Откуда находим $Q=FL$.

Способ 2. В $НеИСО$ к моменту полного разворота цепочки точка приложения силы $F$ переместится на $2L$, а значит её работа равна $2FL$. Изменение кинетической энергии цепочки равно $\frac{mv'^2}{2}=FL$. С учётом этого находим выделившееся количество теплоты $Q=2FL-FL=FL$ (как разность работы силы $F$ и изменения кинетической энергии).

5  ^?? Определите силу натяжения $T$ цепочки в точке $B$, расположенной в её середине, после её распрямления.

Способ 1. После распрямления цепочки выделим нижнюю половину нити (ниже точки $B$) массой $m/2$ и запишем для этого участка теорему о движении центра масс в проекции на ось $Oy$: $\frac{m}{2}a_y=\frac{m}{2}g-T$. В итоге получаем

Рассматривая движение в $НеИСО$, на нижнюю половину цепочки после её разворота будет действовать сила $T=\frac{m}{2}a'=\frac{F}{2}$.