Часто на портретных фотографиях, сделанных с помощью камеры смартфона (рис. 1), в отражении очков фотографирующего можно увидеть изображение его смартфона. Определите по фотографии ниже радиус кривизны поверхности очков, оцените погрешность измерений. Считайте, что расстояние между смартфоном и очками известно точно и равно $L = 50~см$. На рис. 2 изображены смартфон и очки, лежащие рядом друг с другом. Длины, необходимые для получения числового ответа в задаче, можно измерить с помощью линейки по фотографиям из условия.

Обозначим реальный размер очков за $X$, а реальный размер смартфона за $Y$. Пусть также $\alpha$ — угловой размер изображения очков на портретной фотографии, а $\beta$ — угловой размер изображения смартфона на ней. Измерим отношение размеров изображений очков и смартфона на двух фотографиях.
$$
\frac{X}{Y}=(1{,}1\pm0{,}1); \quad \frac{\alpha}{\beta}=(12\pm1);
$$ На левой фотографии отношение размеров изображений соответствует отношению реальных размеров, а на правой отношению угловых размеров изображений.

Сделаем простейший чертеж расположения изображения смартфона и очков на правой фотографии. Обозначим размер изображения смартфона за $y$, расстояние между изображением смартфона и очками за $l$. Угловые размеры изображения смартфона и очков на правой фотографии в приближении малых углов даются формулами:
\begin{equation}
\alpha=\frac{X}{L}; \quad \beta=\frac{y}{L+l}.
\end{equation}

Положение изображения определяется формулой сферического зеркала:
\begin{equation}
\frac{1}{L}-\frac{1}{l}=-\frac{2}{R},
\end{equation} где~$R$~--- радиус кривизны зеркала. Размер изображения смартфона связан с~его реальным размером через увеличение зеркала:
\begin{equation}
y=Y\frac{l}{L}.
\end{equation} Объединяя уравнения получим:
\begin{equation}
R=\frac{2L}{\frac{\alpha}{\beta}\frac{Y}{X}-2}.
\end{equation} Рассчитаем с учетом погрешности измерений минимально возможное значение радиуса кривизны и максимально возможное:
\begin{align*}
R_{min} & =\frac{2\cdot50 \ см}{\frac{13}{1}-2}=9{,}09 \ см. \\
R_{max} & =\frac{2 \cdot50 \ см}{\frac{11}{1{,}2}-2}=12{,}24 \ см.
\end{align*} Тогда окончательное значение радиуса кривизны с учетом погрешностей измерений: