Скорость падающего шарика в момент, когда он цепляется за горизонтальную нить, $v=\sqrt{2gh}$. Рассмотрим движение одного из шариков, подвешенных на нитях (на рисунке 1 $-$ левого). Он движется по окружности с центром в точке крепления нити на левой стенке. Проекции скоростей левого и центрального шарика на горизонтальную нить должны быть равны. Скорость центрального шарика $v$ направлена вертикально вниз. Следовательно, скорость левого шарика в начальный момент времени равна нулю. Нормальная проекция ускорения левого шарика, поэтому равна нулю, есть только тангенциальная составляющая $\vec{a}_{\tau} =\vec{a}.$ Определим эту величину.

Способ 1. Перейдём в систему отсчёта, движущуюся вниз с постоянной скоростью $\vec{v}$ (рис.2). В ней левый шарик движется по окружности, центром которой является центральный шарик. Нормальная проекция ускорения в этой системе отсчёта направлена вдоль нити и равна $a_n'=v^2/d$. Но переход в инерциальную систему отсчёта не меняет ни величину, ни направление ускорения. Поэтому $a_n$ является проекцией $\vec{a}$ на горизонтальную нить $$ a_n'=a\cdot\cos\alpha,\\ \frac{v^2}{d}=a\cdot\cos 30^{\circ},\,\\ a=\frac{2v^2}{\sqrt{3}d} $$

Способ 2. Перейдем в неинерциальную систему отсчёта левого шарика, тогда на центральный шарик будет дополнительно действовать сила инерции $-m\vec{a}$ (см. рис.). Запишем для центрального шарика уравнение второго закона Ньютона в проекции на горизонтальную ось: $$ m\frac{v^2}{d}=T_2-ma\cos30^{\circ}-T_2'. $$ Откуда получаем тот же ответ.

Теперь уже несложно найти натяжения $T_1$ боковой и $T_2$ горизонтальной нитей. Из второго закона Ньютона для левого шарика
$$
m\frac{v^2}{d}=T_2 - T_1\cdot\sin 30^{\circ},\\
m\frac{v^2}{\sqrt{3}d}= T_1\cos 30^{\circ}-mg.
$$Решая систему, получаем

$$
T_1=\frac{2\sqrt{3}}{3}mg+\frac{2mv^2}{3d},\, T_2=\frac{\sqrt{3}}{3}mg+\frac{4mv^2}{3d}g.
$$Заменив $v^2 = 2gh$, получаем окончательно