Способ 1. Через любую точку, соответствующую состоянию газа в координатах $pV$ проходит ровно одна изотерма. Изотермы друг с другом не пересекаются и расположенным выше изотермам соответствуют большие температуры. При переходе газа из состояния 1 в состояние 2 точка, соответствующая его состоянию, не может перемещаться с «верхних» изотерм на «нижние», так как температура газа не уменьшается, а траектория процесса лежит между изотермами, проходящими через точки 1 и 2.
Если теперь рассмотреть аналогичным образом на той же $pV$ — плоскости семейство адиабат, то точка, соответствующая состоянию газа не может перемещаться с «верхних» адиабат на «нижние», так как тепло от газа не отводится, следовательно, траектория процесса лежит между адиабатами, проходящими через точки 1 и 2 (см. рис.).
Покажем, что максимальное количество теплоты в таком процессе подводится к газу в случае, если его сначала адиабатически перевести из состояния $1$ в состояние $3$, затем изотермически из состояния $3$ в состояние $2$. Рассмотрим цикл $1-3-2-1$, полагая переход из состояния $2$ в состояние $1$ произвольным, лежащим внутри криволинейного четырёхугольника $1-3-2-4-1$. Работа в этом цикле равна разности подведённого на участке $1-3-2$ количества теплоты $Q_{132}$ и отведённого при переходе $2-1$ количества теплоты $Q_{21}.$ Так как работа положительна, $Q_{132}>Q_{21}.$ Так как процесс $21$ выбран произвольно (при ограничениях на подвод тепла и изменение температуры, которые оговорены в условии), то величина $Q_{132}$ соответствует максимальному значению количества теплоты, которое может быть подведено при таком переходе. Аналогично можно показать, что минимально возможному количеству теплоты соответствует процесс, при котором газ сначала изотермически расширяется из состояния $1$ в состояние $4$, а затем адиабатически сжимается, переходя из состояния $4$ в состояние $2$.
Способ 2. Приведём анализ характера процессов $A$ и $B$ с использованием понятия энтропии. Процессы $A$ и $B$ протекают так что, в течение всего процесса температура газа не уменьшается и тепло от газа не отводится, значит энтропия в этих процессах не может уменьшаться. Подведенная теплота и изменение энтропии связаны соотношением: $\delta Q=TdS$.
Процесс $A$ протекает с максимально возможным подведенным теплом, значит в этом процессе все подведенное тепло должно быть передано при максимально возможной температуре. Для этого систему нужно перевести без подвода тепла в состояние с максимально возможной температурой, что соответствует процессу, при котором газ сначала адиабатически сжимается из состояния $1$ в состояние $3$, а затем изотермически расширяется, переходя из состояния $3$ в состояние $2$.
Процесс $B$ протекает с минимально возможным подведенным теплом, значит в этом процессе все подведенное тепло должно быть передано при минимально возможной температуре, после чего в состояние $2$ систему нужно перевести без подвода тепла. Это соответствует процессу, при котором газ сначала изотермически расширяется из состояния $1$ в состояние $4$, а затем адиабатически сжимается, переходя из состояния $4$ в состояние $2$.
Перейдём к вычислению объёмов, соответствующих точкам $3$ и $4$. Уравнение, связывающее переменные $T$ и $V$ в адиабатическом процессе:
$$
TV^{\gamma -1}=\mbox{const},
$$ где $\gamma$ — показатель адиабаты. Для одноатомного идеального газа $\gamma = 5/3$ и $TV^{2/3}=\mbox{const}$. Отсюда для процесса $A$:
$$
TV^{2/3}=2T(V_{A}^{\min})^{2/3},\\
V_{A}^{\min}=\frac{V}{2\sqrt{2}}.
$$ Очевидно, что $V_{A}^{\max}=2V$. Для процесса $B$: $$2T\cdot(2V)^{2/3}=T\cdot (V_{B}^{\max})^{2/3},\\
V_{B}^{\max}=4\sqrt{2}V.$$ Разумеется $V_{B}^{\min}=V$.
Теплота в этих процессах подводится на изотермах. Количество теплоты в изотермическом процессе равно работе газа. Для процесса $A$:
$$
Q_{A}=2\nu RT \ln\frac{V_2}{V_3}=5\nu RT \ln 2.
$$ Для процесса $B$:
$$
Q_{B}=2\nu RT \ln\frac{V_4}{V_1}=\frac{5}{2}\nu RT \ln 2.
$$