1  ^0.50 Определите, является ли горизонтальное положение стержня положением устойчивого равновесия при отсутствии трения между стержнем и стенками чаши.

1 Указано, что центр масс может лежать только на сфере	0.30
2 Вывод об устойчивость положения равновесия (не ставится без объяснения)	0.20

2  ^3.00 Пусть стержень находится в положении равновесия, располагаясь под углом $\alpha$ к горизонту. Определите, в каких пределах может изменяться значение модуля силы реакции $\vec{N}_{1}$. Постройте на одном графике зависимости граничных значений модуля силы $\vec{N}_{1}$ от угла $\alpha$. Укажите на этом графике область возможных значений модуля силы $\vec{N}_{1}$.

1 Указаны направления сил трения	0.20
2 Записаны неравенства на силы трения $F_{тр\,1,2} < N_{1,2}$	2 × 0.10
3 Записаны три независимых уравнения на силы (либо две проекции условия равенства сил на «удобные» оси и условие равенства моментов относительно одной точки, либо наоборот)	3 × 0.40
4 Из системы уравнений получено выражение для зависимости $N_2(N_1)=N_{2}=N_{1}+\frac{m g}{\sqrt{2}} \sin \alpha$	0.50
5 Из неравенств на силы трения получены выражения $n_{1} > \frac{\cos \alpha}{1+\mu}$ и $n_{1} < \frac{\cos \alpha}{1-\mu}-\sin \alpha$	2 × 0.20
6 График: удобный масштаб; оси подписаны и оцифрованы;	2 × 0.10
7 нанесены требуемые зависимости	2 × 0.15

3  ^1.00 При каких значениях угла $\alpha$ стержень будет находиться в положении равновесия? Вычислите значения границ диапазона.

1 Уравнение $\frac{\cos \alpha}{1-\mu}-\sin \alpha=\frac{\cos \alpha}{1+\mu}$	0.40
2 Ответ $\alpha_{\min}=0$, $\alpha_{\max}=\operatorname{arctg}\dfrac{8}{15}$	2 × 0.30