1  ^?? Выразите мощность $P$ тепловой машины через температуры $T_{1}$, $T_{2}$ и $T$.

Рассмотрим работу тепловой машины за время $\Delta t=1~с$. Запишем выражение для КПД цикла Карно:
$$
\eta=\frac{Q_{1}-Q_{2}}{Q_{1}}=\frac{P}{P+P_{2}}=\frac{T_{1}-T}{T_{1}}.
$$
Здесь $P$ - полезная мощность машины, $P_{2}$ - тепловая мощность, передаваемая холодильнику. Из выражения для $\eta$ следует
$$
P=\frac{P_{2}}{T}\left(T_{1}-T\right).
$$
Согласно условию задачи $P_{2}=Q_{2} / \Delta t=\alpha\left(T-T_{2}\right)$, следовательно,
$$
P=\alpha \frac{\left(T-T_{2}\right)\left(T_{1}-T\right)}{T}=\alpha\left[T_{1}+T_{2}-\left(T+\frac{T_{1} T_{2}}{T}\right)\right].
$$
Величина $\left(T+T_{1} T_{2} / T\right)$ принимает минимальное значение при $T=\sqrt{T_{1} T_{2}}=489.9~K \approx 490K$. Следовательно,
$$
P_{\max }=\alpha\left[T_{1}+T_{2}-2 \sqrt{T_{1} T_{2}}\right]=\alpha\left[\sqrt{T_{1}}-\sqrt{T_{2}}\right]^{2}=120.1~кВт,
$$
при этом
$$
\eta=\frac{T_{1}-T}{T}=38.7~\%.
$$

2  ^?? Найдите значение температуры $T$ промежуточного тела, при которой мощность машины максимальна.

3  ^?? Определите максимальную мощность $P_{\max }$ машины.

4  ^?? Чему равен КПД тепловой машины при работе с максимальной мощностью?