Введем обозначения $T_1$, $l_1$ и $\Delta l_1$ $–$ сила упругости, длина и деформация левой пружины, $T_2$, $l_2$ и $\Delta l_2$ $-$ сила упругости, длина и деформация правой пружины, $\Delta h$ $-$ разница высот между поршнями. Определим силы упругости пружин. Для этого применим правило моментов для балки относительно точек крепления правой и левой пружин:
$$
\left\{\begin{gathered}
T_1 \cdot 4l = Mg \cdot l\\
\quad T_2 \cdot 4l = Mg \cdot 3l
\end{gathered}\right.
\quad \Rightarrow \quad
\left\{\begin{gathered}
T_1 = \frac{Mg}4\\
T_2 = \frac{3Mg}4
\end{gathered}\right.
$$
Таким образом, давление под правым поршнем будет выше, чем под левым (площади отличаются в 2 раза, а силы $–$ в 3). Значит, левый поршень поднимется, а правый опустится. Из закона Гука:
$$
\Delta l_1 = \frac{Mg}{8k}, \quad \Delta l_2 = \frac{3Mg}{4k}. \tag{1}
$$Из условия равенства давлений на дне сообщающихся сосудов:
$$\left\{\begin{gathered}
\frac{Mg}{8S} = \rho g \Delta h\\
\frac{3Mg}{8S} = \frac{Mg}{4S} + \rho g \Delta h
\end{gathered}\right. \tag{2}
$$Поскольку балка горизонтальна:
$$
l_1 - \Delta l_1 + \Delta. h = l_2 + \Delta l_2. \tag{3}
$$С учётом разницы длин пружин:
$$
\Delta h = l - \Delta l_2 + \Delta l_1 = l - \frac{3Mg}{4k} + \frac{Mg}{8k}. \tag{4}
$$Подставляя $(4)$ в $(2)$, получим:
$$
\frac{Mg}{8S} = \rho g \left( l - \frac{5Mg}{8K} \right) \quad \Rightarrow \quad M = \frac{8 \rho S l k}{5\rho g S + k}.
$$