Logo
Logo

Униполярный индуктор

1  ?? Что покажет неподвижный вольтметр на первом рисунке при частоте вращения диска $\nu=3000~об/мин$? Какова полярность этой разности потенциалов? Укажите полярность на первом рисунке.

На свободные электроны в проводящем слое при вращении диска действует сила Лоренца $F_{л}=e v B$, где $e<0$ - заряд электрона, $v=\omega r$ - линейная скорость. При указанных на рисунке направлениях магнитного поля и вращения диска сила Лоренца направлена к центру диска. В результате возникает перераспределение зарядов: электроны будут перемещаться к центру, а на боковой поверхности образуется не скомпенсированный положительный заряд. Это приводит к возникновению электрического поля $\vec{E}$, направленного по радиусу к центру. Равновесие наступает, когда в каждой точке проводящего слоя кулоновская сила скомпенсирует силу Лоренца:
$$
e E=e v B=e \omega r B, \quad \text { то есть } \quad E=v B.
$$
Разность потенциалов $\Delta \varphi$ между боковой поверхностью диска $\left(r=r_{0}\right)$ и его центром $(r=0)$ равна
$$
\Delta \varphi=\int_{0}^{r} E d r=\frac{1}{2} \omega r_{0}^{2} B.
$$
Эта разность потенциалов и будет измерена вольтметром:
$$
V=\Delta \varphi=\frac{1}{2} \omega r_{0}^{2} B=\pi \nu r_{0}^{2} B=62.8 \cdot 10^{-3}~B,
$$
причём минус находится в центре диска, а плюс - на боковой поверхности.

Ответ: $$
V=\pi \nu r_{0}^{2} B=62.8 \cdot 10^{-3}~B.
$$
Минус находится в центре диска, а плюс - на боковой поверхности.
2  ?? Пренебрегая трением, оцените предельную частоту вращения (об/мин) намагниченного диска (ротора униполярного двигателя на втором рисунке). Укажите направление вращения ротора при заданной на втором рисунке полярности батарейки и направлении вектора $\vec{B}$.

Диск разгоняется механическим моментом силы, возникающей в результате взаимодействия магнита с электрическим током во внешней, неподвижной части электрической цепи, играющей роль статора. По мере разгона ротора увеличивается наведённая ЭДС $\mathscr{E}_{инд}$, направленная, по правилу Ленца, против ЭДС батарейки. Разгон диска прекратится, когда ЭДС батарейки сравняется с $\mathscr{E}_{инд}$, и ток в цепи станет равным нулю. Для выполнения этого условия диск должен вращаться так же, как и на первом рисунке - против часовой стрелки, если смотреть сверху. Предельную скорость вращения находим из условия
$$
\mathscr{E}_{инд}=\Delta \varphi=\mathscr{E}, \quad \text { или } \quad \pi \nu_{пред} r_{0}^{2} B=\mathscr{E},
$$
отсюда
$$
\nu_{пред}=\frac{\mathscr{E}}{\pi r_{0}^{2} B}=71.7 \cdot 10^{3}~об/мин.
$$

Ответ: $$
\nu_{пред}=\frac{\mathscr{E}}{\pi r_{0}^{2} B}=71.7 \cdot 10^{3}~об/мин.
$$
Диск должен вращаться так же, как и на первом рисунке - против часовой стрелки, если смотреть сверху.