Считая известными $a$ и $\tau$, определите максимальную и минимальную (по модулю) скорости частицы, которая двигалась под действием этой силы в течение долгого времени. При этом скорость частицы отклонялась от первоначального направления движения на максимальный угол $\alpha$.
Изобразим с помощью векторной диаграммы как изменялась скорость частицы.
Можно заметить, что скорость частицы монотонно возрастала со временем, значит минимальная по модулю скорость была в начале, а максимальная в конце движения (при очень большом времени).
Перегруппируем векторы приращения скоростей
Воспользовавшись формулой для суммы геометрической прогрессии, получим, что изменение проекции скорости на ось $x$ за длительное время (бесконечное количество циклов) будет $2a\tau$. Аналогично изменится и $y$ компонента скорости. Значит, максимальная скорость в процессе движения: $v_{\infty}=\sqrt{(v_0+2a\tau)^2+(2a\tau)^2}$.
Выразим начальную скорость через $a\tau$. Угол отклонения вектора скорости через время $\tau$ после начала движения: $\operatorname{tg}{\alpha_1}=(a\tau)/v_0$. Через большое время после начала движения — $\operatorname{tg}{\alpha_{\infty}}=(2a\tau)/(v_0+2a\tau)$. Тогда возможны два варианта:
1) если начальная скорость мала, тогда максимальное отклонение вектора скорости будет через $\tau$ после начала движения: $$\operatorname{tg}{\alpha_1} \geqslant \operatorname{tg}{\alpha_{\infty}} \Rightarrow \alpha_1=\alpha.$$
Рассматриваемый случай реализуется при $v_0 \leqslant 2a\tau$. Тогда:
$$\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{a\tau}{v_0} \Rightarrow v_{\min}=v_0=a\tau \cdot \operatorname{ctg}{\alpha};$$ $$v_{\max}=v_{\infty}=\sqrt{(a\tau \cdot \operatorname{ctg}{\alpha}+2a\tau)^2+(2a\tau)^2}=a\tau\sqrt{\operatorname{ctg}^2{\alpha}+4\operatorname{ctg}{\alpha}+8}.$$
2) Если $v_0 \geqslant 2a\tau$, то максимальное отклонение вектора скорости будет в предельной ситуации ($\alpha_{\infty}=\alpha)$. $$\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{2a\tau}{v_0+2a\tau} \Rightarrow v_{\min}=v_0=2a\tau \cdot (\operatorname{ctg}{\alpha}-1);$$ $$
v_{\max}=v_{\infty}=\frac{2a\tau}{\sin{\alpha}}.$$
Ответ:
$$v_{\min}=a\tau \cdot \operatorname{ctg}{\alpha};~v_{\max}=a\tau\sqrt{\operatorname{ctg}^2{\alpha}+4\operatorname{ctg}{\alpha}+8}, \quad \text{при}\quad v_0 \leqslant 2a\tau;$$ $$v_{\min}=2a\tau \cdot (\operatorname{ctg}{\alpha}-1);~v_{\max}=\frac{2a\tau}{\sin{\alpha}},\quad \text{при}\quad v_0 \geqslant 2a\tau.$$
