1  ^?? Определите период малых крутильных колебаний кольца относительно оси $O O^{\prime}$.

Повернём кольцо относительно оси $ОО^{'}$ на малый угол $\varphi$ (см. рисунок). Тогда все нити отклонятся на некоторый малый угол $\alpha$.

Из рисунка следует:
$$
L \cdot \alpha=R \cdot \varphi,
$$
где $R$ - радиус кольца. При этом кольцо поднимется на
$$
x = L (1-\cos \alpha) \approx L \frac{a^{2}}{2}=\frac {R^{2}}{2 L} \varphi^{2}.
$$
Допустим, что в этом положении все точки кольца имеют скорость $v=R \dot{\varphi}$. Тогда полная энергия кольца запишется в виде
$$
E=M g x+\frac{M v^{2}}{2}=M\left(\frac{R^{2} g}{2 L} \varphi^{2}+\frac{R^{2} \dot{\varphi}^{2}}{2}\right).
$$
При колебаниях без трения полная энергия сохраняется. Продифференцировав выражение выше по времени, получим
$$
\ddot{\varphi}+\frac{g}{L} \cdot \varphi=0.
$$
Это уравнение свободных колебаний. По аналогии с математическим маятником длиной $L$ круговая частота равна $\omega_{0}=\sqrt{g / L}$. Окончательно находим
$$
T=\frac{2 \pi}{\omega_{0}}=2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}.
$$

2  ^?? Насколько изменится период крутильных колебаний, если в центре кольца (точка $O$) при помощи лёгких спиц расположить тело малых размеров (материальную точку), масса которого равна массе кольца?

При наличии точечной массы в центре кольца выражение для кинетической энергии системы не изменяется, а в выражение для потенциальной энергии должна теперь входить сумма масс $(M+m)$. Уравнение для крутильных колебаний примет вид
$$
\ddot{\varphi}+\frac{(M+m)}{m} \frac{g}{L} \cdot \varphi=0,
$$
следовательно,
$$
\omega_{0}^{\prime}=\sqrt{\frac{(M+m)}{m} \frac{g}{L}} .
$$
При $m=M$ частота колебаний возрастёт в $\sqrt{2}$ paз, и, соответственно, период уменьшится в $\sqrt{2}$ раз.