Pho.rs: Тепловой цикл

1 ^?? Считая известным коэффициент полезного действия (КПД) газовой плиты $\eta=0{,}5$, массовый расход газа $\mu_0=0{,}14 ~ г/с$ и удельную теплоту его сгорания $q = 33 ~ МДж/кг$, определите полезную мощность плиты $P$. Здесь коэффициентом полезного действия называется отношение полезной мощности, поступающей к воде в кастрюле, к общей мощности, выделяющейся при сгорании газа.

За время $\Delta \tau$ сжигается $\Delta m_0=\mu_0 \Delta \tau$ газа, то есть выделяется $\Delta Q_{вся}=\Delta m_0 q$ энергии. Лишь $\eta$-ая её часть идет на нагревание воды $\Delta Q_{эфф}=\eta \Delta Q_{вся}$. Тогда эффективная мощность

Ответ: $$P=\frac{\Delta Q_{эфф}}{\Delta \tau}=\eta \mu_0 q\approx 2{,}3~кВт.$$

2 ^?? Определите массовый расход холодной воды $\mu$ на участке $3-1$.

Заметим, что на участке $1-2$ не происходит изменения массы воды (не происходит испарений и доливаний), т.е. этот участок вертикальный. Обозначим массу воды в точке $1$ за $M$.
Уравнение, описывающее испарение на участке $2-3$: $$P\tau_{23}=(M-\frac{M}{4})L=\frac{3M}{4}L.$$ Уравнение, описывающее доливание воды на участке $3-1$: $$\mu\tau_{31}=M-\frac{M}{4}=\frac{3M}{4}.$$ С учетом $\tau_{23}=\tau_{31}$, получим

Ответ: $$\mu=\frac{P}{L}=\mu_0 \frac{\eta q}{L}=1{,}0~г/с.$$

3 ^?? Определите температуру $t_1$ воды в точке $1$. Восстановите вид всей диаграммы.

Уравнение теплового баланса на участке $3-1$ ($t_{100}=100\,^\circ \mathrm{C}$ — температура кипения воды, $c$ — удельная теплоемкость воды, $m$ и $t$ — текущие масса и температура воды на участке $3-1$):
$$c \frac{M}{4} (t_{100}-t)=c(m-\frac{M}{4})(t-t_х).$$ Из него следует зависимость температуры воды от её массы на этом участке $$t(m)=t_х+\frac{M}{4} (t_{100}-t_х )\cdot \frac{1}{m}.$$ Последняя формула показывает линейность участка $3-1$. Температура воды при массе, равной начальной $M$, равна $t_1 = t(M) = t_x + (t_{100}-t_x)/4 = (t_{100}+3t_x)/4=40\,^\circ \mathrm{C}.$ Восстановим целостный вид диаграммы — это прямоугольный треугольник с вершинами $(1; 40)$, $(1; 100)$, $(4; 100)$.

Ответ: $$t_1=40\,^\circ \mathrm{C}.$$

4 ^?? Во сколько раз время $\tau_{23}$, в течение которого вода кипела на участке $2-3$ больше, чем время $\tau_{12}$ нагревания воды на участке $1-2$?

Уравнение, описывающее нагревание на участке $1-2$: \[P\tau_{12}=cM(t_{100}-t_1)\] Тогда

Ответ: $$\frac{\tau_{23}}{\tau_{12}} =\frac{3L}{4c(t_{100}-t_1)} \approx 6{,}9.$$

Тепловой цикл

Решение