1  ^?? Вырежьте из листа бумаги распечатанную фигуру по контуру. Определите координаты центра масс вырезанной фигуры. Постарайтесь сделать это с наибольшей точностью. Оцените погрешность определения координат центра масс.

В авторском решении использовался картон с поверхностной плотностью $\sigma = 256 ~г/м^2$.

Возможный метод определения координат центра масс (тяжести) следующий: нужно подвесить фигуру за любую точку и зафиксировать положение отвеса. Повторив действия еще для нескольких точек и найдя область, в которую попадают точки пересечения отвесных линий, получим положение центра масс (тяжести). Погрешность в определении координаты центра масс оценим как радиус этой области. Реализация этой идеи может быть различной:

• с помощью кнопки сделаем в фигуре несколько отверстий, подвесим фигуру на кнопке, держа ее в руке. Линия отвеса обеспечивается гайкой, привязанной к нити. Верхний конец нити можно прикрепить к острию кнопки.
• сделаем в листе бумаги несколько отверстий кнопкой у краев и подвесим фигуру на нитке при помощи этих отверстий. На нижний конец нити подвесим гайку.
  

Использование для определения координат центра масс фигуры, вырезанной из бумаги, приводит к большой погрешности, так как лист бумаги при подвешивании изгибается, что приводит к смещению центра масс. Поэтому для увеличения точности следует перенести фигуру на лист картона и определение области, в которой находится центр масс, провести с её использованием. После этого можно с помощью кнопки перенести полученную область на лист бумаги с миллиметровой сеткой, и определение координат центра масс произвести уже на нём.

Координата центра масс фигуры:
\[x = 9{,}1 \pm 0{,}2~см\]\[y = 5{,}8 \pm 0{,}2~см\]

2  ^?? Найдите массу одной из гаек.

Для определения массы гайки нам понадобится масса фигуры из бумаги или фигуры из картона. Так как поверхностные плотности бумаги и картона известны, то определить массы можно, найдя площадь фигур $S$. Масса бумажной фигуры $m_0$ равна
\[m_0 = \sigma_0 S\]Масса фигуры из картона $m$ равна
\[m=\sigma S\]

Для определения площади воспользуемся методом палетки. Берем фигуру из бумаги, с помощью сетки она поделена на квадраты площадью $S_0 = 1~см^2$. Посчитаем количество полных квадратов и количество неполных квадратов, определим площадь фигуры
\[S= 256 S_0 + \frac{1}{2} \cdot 57 S_0 =284{,}5~см^2\]Найдем массу фигуры из бумаги: \[m_0 = \sigma_0 S=2{,}28~г\]Найдем массу картонной фигуры: \[m=\sigma S=7{,}28~г\]

Найдем массу гайки.

Основная идея следующая: к фигуре либо из бумаги, либо из картона в разные точки подвешивается гайка, определяется положение центра масс полученной системы (положение точки, в которой должна находиться опора, чтобы полученная система находилась в равновесии).

Способы реализации:

A) применимы и для бумажной и для картонной фигуры. Из фигуры делаем рычаг (сворачиваем в трубочку или складываем гармошкой), на фигурный конец в разные места подвешиваем гайку на нити, помещаем на край стола, так чтобы гайка на нити висела свободно, аккуратно выдвигаем свисающий край рычага и определяем крайнее положение точки опоры, при котором рычаг (сложенная фигура) ещё остаётся горизонтальным. При сворачивании фигуры следует убедиться, что положение центра масс $C$ по линии сворачивания (сгибания) остается прежним, либо заново его определить.

Измерения для максимальных плеч:

$l,~см$	$L,~см$	$M,~г$
6,0	7,9	5,53
5,9	7,9	5,44
6,1	7,8	5,69
6,1	7,9	5,62
6,0	8,0	5,46

Среднее значение массы гайки \[M_{ср} = 5{,}55~г\]Результаты измерения для построения графика $L(l)$ приведены в таблице.

 

$N$	$l,~см$	$L,~см$
1	6,0	7,9
2	5,5	7,5
3	5,2	6,9
4	4,9	6,4
5	4,3	5,7
6	3,9	5,2
7	3,6	4,6
8	3,2	4,1
9	2,9	3,7
10	2,5	3,2
11	2,0	2,6

 

График зависимости $L(l)$ приведен на рисунке.

Определим угловой коэффициент наклона графика $k$
\[k= \frac{\Delta L}{\Delta l} =\frac{7{,}9}{6{,}0}=1{,}32\]Так как угловой коэффициент $k$ равен отношению масс
\[k= \frac{m}{M},\]то масса гайки равна
\[M= \frac{m}{k} = \frac{7{,}28}{1{,}32} =5{,}52~г\]

Б) применим только для картонной фигуры, так как бумажная будет прогибаться под тяжестью гайки. Можно на фигуре провести отрезок прямой линии, проходящей через центр масс, желательно имеющий наибольшую длину (для увеличения точности измерений). На этой прямой в нескольких точках сделать проколы кнопкой, затем с помощью нити к этим точкам подвешивать гайку. А затем используем метод, писанный в варианте А.

В) применим и для бумажной и для картонной фигур. Будем подвешивать фигуру на нити, как это делалось раньше. К фигуре прикрепим гайку на нити, при помощи предварительно проделанных отверстий. Таким образом появляется момент силы тяжести гайки, который уравновешивается моментом сил тяжести фигуры. Запишем правило моментов системы относительно точки подвеса: \[m gl_{фигуры} =Mg l_{гайки},\] где~$M$~--- масса гайки. Плечи сил определяем, измерив расстояния от~вертикальной линии. Снимем зависимость плеча силы тяжести гайки $l_{гайки}$ от~плеча силы тяжести листа $l_{фигуры}$ . Для этого проделаем несколько отверстий на~линии соединяющей центр масс и~самую удаленную точку от~центра масс (таким образом добиваемся большей точности измерений за~счет большего плеча). Из~правила моментов получаем выражение для массы гайки: \[M =m \frac{l_{листа}}{l_{гайки}}\] Отношение плеч определяем по коэффициенту наклона графика $l_{гайки} (l_{листа})$.