Обозначим $S$ площадь сечения нижнего цилиндра. Тогда объём, занимаемый гелием, равен $V=(L-h) S$. Так как температура гелия постоянна, воспользуемся законом Бойля-Мариотта:
$$
p_г (L-h) S=\mathrm{const}
$$или
$$
p_г = \frac{\left(p_{0}+\rho_{p} g h_{1}\right)\left(L-h_{1}\right)}{L-h}.
$$Давление гелия в равновесии равно давлению ртути на поршень $p_{рт} = p_{0}+\rho_{\mathrm{p}} g h$, откуда получаем квадратное уравнение на $h$:
$$
\left(p_{0}+\rho_{p} g h_{1}\right)\left(L-h_{1}\right)=\left(p_{0}+\rho_{p} g h\right)(L-h).
$$Следовательно, существуют два положения равновесия. Первое положение равновесия $h=h_{1}$ известно из условия. Решая квадратное уравнение выше, найдём второе положение равновесия $h_{2}=360~мм$.
Исследуем положения равновесия на устойчивость. Введем обозначения $p_{\uparrow}$ для давления ртути непосредственно над поршнем и $p_{\downarrow}$ для давления гелия под поршнем. Устойчивое равновесие будет наблюдаться, если сила, возникающая при малом смещении поршня, стремится вернуть его в положение равновесия:
$$
\frac{d\left(p_{\downarrow}-p_{\uparrow}\right)}{d h}>0.
$$Давление ртути равно
$$
p_{\uparrow}=p_{0}+\rho_{p} g h,
$$давление гелия $p_{\downarrow}=p$ известно из формулы для $p$ по закону Бойля-Мариотта. Дифференцируя, получим
$$
\frac{\left(p_{0}+\rho_{p} g h_{1}\right)\left(L-h_{1}\right)}{(L-h)^{2}}-\rho_{p} g>0.
$$В положении равновесия верно соотношение $\left(p_{0}+\rho_{p} g h_{1}\right)\left(L-h_{1}\right)=\left(p_{0}+\rho_{p} g h\right)(L-h)$, следовательно,
$$
\frac{p_{0}+\rho_{p} g h}{L-h}-\rho_{p} g>0.
$$Окончательно получим условие устойчивости положения равновесия:
$$
h>\frac{1}{2}\left(L-\frac{p_{0}}{\rho_{p} g}\right)=370~мм.
$$Итак, первое положение равновесия $h_{1}=380~мм$ устойчиво, а второе положение равновесия $h_{2}=360~мм$ неустойчиво.