1  ^?? Силу тока, протекающего через конденсатор.

В установившемся режиме сила тока $I=$ const при любом значении $x$. Выделим в среде слой малой толщины $d x$ на расстоянии $x$ от нижней пластины. По закону Ома
$$
d U=\rho \frac{d x}{S} I=I \rho_{0}\left(1+\frac{2 x}{d}\right) \frac{d x}{S}.
$$
Здесь $S$ - площадь пластин конденсатора. Интегрируя, получим
$$
U_{0}=\int_{0}^{d} I \rho_{0}\left(1+\frac{2 x}{d}\right) \frac{d x}{S}=\frac{2 I \rho_{0} d}{S}=\frac{2 I \rho_{0} \varepsilon_{0}}{C_{0}},
$$
так как $C_{0}=\frac{\varepsilon_{0} S}{d}$. Следовательно,
$$
I=\frac{U_{0} C_{0}}{2 \rho_{0} \varepsilon_{0}}.
$$

2  ^?? Заряды нижней $(q_{1})$ и верхней $(q_{2})$ пластин конденсатора.

Определим напряжённость электрического поля вблизи нижней $\left(E_{1}\right)$ и верхней $\left(E_{2}\right)$ пластин. Из уравнений, приведенных в пункте 1, следует:
$$
E(x)=\frac{d U}{d x}=\frac{I \rho_{0}}{S}\left(1+\frac{2 x}{d}\right)=\frac{C_{0} U_{0}}{2 \mathscr{E}_{0} S}\left(1+\frac{2 x}{d}\right).
$$
При $x=0$ напряженность $E_{1}=\frac{C_{0} U_{0}}{2 \varepsilon_{0} S}$, и заряд равен
$$
q_{1}=S \sigma_{1}=S E_{1} \mathscr{E}_{0}=\frac{C_{0} U_{0}}{2}.
$$
При $x=d$ напряженность $E_{2}=\frac{3 C_{0} U_{0}}{2 \varepsilon_{0} S}$, и заряд равен
$$
q_{2}=-S \sigma_{2}=-S E_{2} \mathscr{E}_{0}=-\frac{3 C_{0} U_{0}}{2}.
$$

3  ^?? Заряд $q$ внутри конденсатора (т. е. в среде между пластинами).

Полный заряд конденсатора, включающий заряды обеих пластин и заряд в среде между пластинами, равен нулю:
$$
q_{1}+q_{2}+q=0.
$$
Из этого соотношения следует:
$$
q=C_{0} U_{0}.
$$

4  ^?? Электрическую энергию $W_{Э}$, запасённую в конденсаторе.

Зная объёмную плотность электрической энергии $w_{\ni}=\varepsilon_{0} E^{2} / 2$, найдём полную энергию, запасённую в конденсаторе:
$$
W_{Э}=\int_{0}^{d} \frac{\varepsilon_{0} E^{2}(x)}{2} S d x=\frac{C_{0} U_{0}^{2}}{8 d} \int_{0}^{d}\left(1+\frac{2 x}{d}\right)^{2} d x=\frac{13}{24} C_{0} U_{0}^{2}.
$$