A1  ^?? Прикрепите иглу к большому шприцу без поршня. Наденьте на корпус шприца гайку. Поставьте на дно стакана два уголка, соединенных магнитами. Установите шприц вертикально на подставку из уголков. Вода в стакане должна доходить до уровня нулевого деления в шприце (см. рис. 1). Вы можете доливать воду из маленького стакана или сливать лишнюю в него же. Выньте шприц из воды, чтобы вода вылилась из его внутреннего объема. Поставьте шприц обратно и проследите за уровнем воды в нем.

A2  ^?? Измерьте зависимость объема воздуха в шприце от времени.

Перед началом измерений продуем иголку шприцем с поршнем, чтобы убедиться, что внутри неё нет воды.

Соберем установку и измерим зависимость положения уровня воды в шприце от времени. Для этого будем измерять время перемещения уровня между рисками с помощью секундомера. Для каждого последующего измерения будем вынимать шприц из стакана и наполнять его воздухом. Повторим серии измерений для каждого объема $V$ несколько раз и усредним значение времени $t$:

A3  ^?? Выведите теоретическую формулу, описывающую измеренную зависимость. Процесс течения считайте изотермическим.

Выведем теоретическую формулу, описывающую измеренную зависимость. По мере заполнения цилиндра уровень воды в стакане практически не меняется, поэтому перепад давления на длине капилляра в момент, когда высота столба воздуха равна $h$ (см. рис. 1), равен, очевидно, $\Delta P=\rho_{воды} g h$, где $\rho_{воды}$ – плотность воды. Тогда, в соответствии с формулой Пуазейля, для мгновенного расхода воздуха в момент времени $t$ можно записать: $$Q=-\frac{S_{0} d h}{d t}=\frac{\pi \rho_{воды} g h r^{4}}{8 \eta l} \tag{3}$$ где $S_{0}$ – площадь поперечного сечения шприца. После интегрирования в пределах от начального значения $h_{0}=h(0)$ уровня воды в цилиндре до значения $h$ в момент времени $t$, получим закон изменения уровня воды в цилиндре с течением времени: $$\ln \frac{h_{0}}{h}=\ln \frac{V_{0}}{V}=\frac{\pi \rho_{воды} g r^{4}}{8 \eta l S_{0}} t \tag{4}$$ где $V_{0}=20~мл$ – объем, соответствующий началу отсчета. Площадь сечения рассчитаем как отношение объема этой части шприца к ее высоте $H=6.8~см$: $$S_{0}=\frac{V_{0}}{H} \tag{5}$$ Тогда окончательный вид искомой зависимости:$$\ln V=\ln V_{0}-\frac{\pi \rho_{воды} g r^{4} H}{8 \eta l V_{0}} t \tag{6}$$

A4  ^?? Постройте график в координатах, в которых он описывается линейной функцией, и определите его угловой коэффициент.

Построим график измеренной зависимости в координатах $\ln V$ от $t$.

Заметим, что экспериментальные точки замечательно ложатся на прямую линию с модулем углового коэффициента:$$k_{1}=\frac{\pi \rho_{воды} g r_{иглы}^{4} H}{8 \eta_{воздух} l_{иглы} V_{0}}=(29.0 \pm 0.8) \cdot 10^{-3}~с^{-1} \tag{7}$$

A5  ^?? Определите значение коэффициента вязкости воздуха. Для этого подсоедините трубку к игле и проведите аналогичные измерения. Будьте аккуратны, чтобы не проткнуть стенки трубки иглой. Подробно опишите метод и приведите результаты измерений и расчетов.

Для определения вязкости воздуха проведем дополнительные измерения истечения газа из шприца, надев на иглу длинную трубку. Найдем угловой коэффициент зависимости логарифма объема воздуха в шприце от времени $k_{2}=(17.0 \pm 0.6) \cdot 10^{-3}~с^{-1}$.

$V,~мл$	20.0	19.0	18.0	17.0	16.0	15.0	14.0	13.0	12.0	11.0	10.0	9.0	8.0	7.0	6.0	5.0
$t,~с$	0.00	2.90	5.40	9.30	12.40	16.50	20.30	24.60	29.30	34.20	40.10	46.10	53.20	61.90	70.80	81.40
$\ln (V/мл)$	3.00	2.94	2.89	2.83	2.77	2.71	2.64	2.56	2.48	2.40	2.30	2.20	2.08	1.95	1.79	1.61

Заметим, что закон Пуазейля схож с законом Ома. При течении вязкой жидкости по капилляру давление линейно падает с координатой, так же как и потенциал при протекании тока через проводник. В то время как разность давлений можно назвать напряжением, аналогом объемного расхода жидкости или газа будет являться сила тока. Так, введём гидродинамическое сопротивление капилляра.

По аналогии с электрическими цепями при последовательном соединении капилляров их гидродинамические сопротивления складываются. Величина гидродинамического сопротивления обратно пропорциональна угловым коэффициентам построенных графиков. Таким образом, величина углового коэффициента графика зависимости логарифма уровня воды в шприце от времени, соответствующая протеканию газа лишь через трубку, может быть рассчитана из коэффициентов аналогичных графиков измеренных ранее: $$\frac{1}{k}=\frac{1}{k_{2}}-\frac{1}{k_{1}} \tag{8}$$ где$$k=\frac{\pi \rho_{воды} g r_{трубки}^{4} H}{8 \eta_{воздух} l_{трубки} V_{0}} \tag{9}$$Заметим, что эту величину измерить напрямую не удается, так как отсутствует возможность прямого (без использования иглы) и достаточно плотного соединения трубки с носиком шприца.

Измерим длину части трубки, но которой течет газ из шприца $l_{трубки}=98.6 \pm 0.5~см$. Эта длина меньше длины трубки на величину длины иглы, на которую надета трубка.

Измерим также внутренний радиус трубки. Для этого подсоединим к ней шприц объемом $1~мл$, наполненный заранее водой. Соединение между шприцем и трубкой обеспечим с помощью иглы. Закачаем в трубку небольшое количество воды, сделаем отметку на трубке и запомним деление, на котором остановился поршень шприца. Закачаем в трубку большую часть воды из шприца, и вновь измерим уровень воды в шприце, оставив отметку на трубке. Измерим расстояние между отметками $L=92.3 \pm 0.1~см$ и объем воды, помещающийся в трубку между ними $V_{1}=0.70 \pm 0.01~мл$. Тогда для радиуса трубки имеем:$$r_{трубки}=\sqrt{\frac{V_{1}}{\pi L}}=(0.491 \pm 0.004)~мм \tag{10}$$Рассчитаем на основе полученных данных вязкость воздуха:
$$\eta_{воздух}=\frac{\pi \rho_{воды} g r_{трубки}^{4} H}{8 l_{трубки} V_{0}}\left(\frac{1}{k_{2}}-\frac{1}{k_{1}}\right)=(1.83 \pm 0.05) \cdot 10^{-5}~Па \cdot с\tag{11}$$

A6  ^?? Определите внутренний радиус иглы. Подробно опишите метод и приведите результаты измерений и расчетов.

Определим радиус иглы. Для этого достаточно найти отношение угловых коэффициентов исследованных графиков:
$$\frac{k_{1}}{k}=\frac{k_{1}-k_{2}}{k_{2}}=\frac{r_{иглы}^{4}}{r_{трубки}^{4}} \frac{l_{трубки}}{l_{иглы}} \tag{12}$$Измерим длину иглы $l_{иглы}=3.6~см$. Обратим внимание, что начало иглы видно внутри ее пластиковой части, если смотреть на нее на просвет. Тогда для радиуса иглы получаем:$$r_{иглы }=r_{трубки}\left(\frac{k_{1}-k_{2}}{k_{2}}\frac{l_{иглы}}{l_{трубки}}\right)^{1 / 4}=(0.197 \pm 0.07)~мм. \tag{13}$$

A7  ^?? Оцените характерное число Рейнольдса для пункта A2. Сделайте вывод о применимости модели ламинарного течения газа в эксперименте. Оцените отношение характерного расстояния $l_{пер}$ к длине иглы.

Рассчитаем характерную скорость течения газа в первом эксперименте, как
$$v=\frac{Q_{ср}}{\pi r^{2}} \approx 2.5~м/с \tag{14}$$Оценим значение плотности воздуха, используя уравнение состояния газа
$$p=\frac{\rho}{M} R \cdot T \tag{15}$$где $M$ – молярная масса, для воздуха равная $M=29~г/моль$. Тогда значение плотности воздуха $\rho=1.3~кг/м^{3}$. А число Рейнольдса можно оценить как:
$$\operatorname{Re}=\frac{\rho v r}{\eta}\approx 35$$

Полученное значение $Re$ много меньше критического, поэтому в данной работе течение газа можно считать ламинарным. Оцениваем характерное расстояние установления ламинарного течения:$$l_{пер}=0.2 r \cdot \operatorname{Re} \approx 1.4~мм \tag{17}$$

Получаем, что $l_{пер} / l_{иглы} \ll 1$, поэтому можно пренебречь длиной «переходных» отрезков системы.