Нарисуем $pV$-диаграмму и обозначим состояния с температурами $T_1$ и $T_2$ точками $1$ и $2$ соответственно (см. рис.). Проведём через эти точки изотермы и адиабаты и обозначим точки их пересечения $3$ и $4$. Из условия задачи следует, что процесс $1 \rightarrow 2$, в течение которого температура не убывает, а тепло не отводится от газа, возможен. Это означает, что точка $2$ лежит справа от адиабаты, проходящей через точку $1$. При этом график произвольного процесса $1 \rightarrow 2$, для которого, однако, выполняются условия задачи, лежит внутри цикла $1 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 1$.
Обозначим через $Q_{12}, Q_{132}, Q_{142}$ количества теплоты, сообщаемые газу в процессах $1 \rightarrow 2, 1 \rightarrow 3 \rightarrow 2, 1 \rightarrow 4 \rightarrow 2$ соответственно. Рассмотрим процесс $1 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 1$. В нём газ сначала получает тепло $Q_{132}$, потом отдаёт тепло $Q_{12}$, совершая при этом работу $Q_{132} - Q_{12}$, которая равна площади фигуры, ограниченной на диаграмме линиями $1 - 3, 3 - 2, 2 - 1$. Так как эта площадь неотрицательна, то $Q_{132} \ge Q_{12}$.
Рассмотрим аналогичным образом процесс $1 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 1$. Работа, которую совершает газ в этом процессе, также неотрицательна и равна $Q_{12} - Q_{142}$, откуда $Q_{12} \ge Q_{142}$.
Из полученных неравенств имеем:
$$Q_{142} \le Q_{12} \le Q_{132}.$$Поскольку процесс $1 \rightarrow 2$ $-$ произвольный (из числа удовлетворяющих условию задачи), то из данного неравенства следует, что минимальное количество теплоты $Q_1$, которое может передаваться газу в таком процессе, равно $Q_{142}$. Максимальное же количество теплоты $Q_2$, которое может передаваться газу в данном процессе, из тех же соображений равно $Q_{132}$.
Таким образом, для того, чтобы получить ответ задачи, нужно рассмотреть цикл Карно $1 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 1$. Его КПД равен:
$$\eta = 1 - \frac{Q_{142}}{Q_{132}} = 1 - \frac{T_1}{T_2},$$откуда, с учётом того, что $Q_{142} = Q_1$ и $Q_{132} = Q_2$, находим:
$$Q_{max} = Q_2 = \frac{T_2}{T_1} Q_1.$$
