Сила $F(x)$, действующая на диполь со стороны электрического поля, является суммой сил, действующих на заряды $+q$ и $-q$. Пусть координата центра диполя $x$, тогда
$$
F(x)=q E(x+l / 2)-q E(x-l / 2)=q \frac{d E}{d x} l=-2 q l E_{0} \frac{x}{L^{2}}.
$$
Запишем второй закон Ньютона для диполя:
$$
m \ddot{x}=F(x)=-2 \frac{q l E_{0}}{L^{2}} x.
$$
Полученное уравнение имеет вид уравнения гармонических колебаний с циклической частотой $\omega$ :
$$
\omega=\sqrt{2 \frac{q l E_{0}}{m L^{2}}}.
$$
Пусть диполь влетает в область электрического поля в момент времени $t=0$. Тогда решение уравнения для $m \ddot{x}$ можно записать в виде
$$
x(t)=A \sin (\omega t+\varphi), \quad v(t)=A \omega \cos (\omega t+\varphi).
$$
Начальные условия имеют вид
$$
\begin{aligned}
&x(0)=-L=A \sin \varphi,
\\
&v(0)=v_{0}=A \omega \cos \varphi,
\end{aligned}
$$
откуда находим
$$
\varphi=-\operatorname{arctg} \frac{\omega L}{v_{0}}, \quad A=L \sqrt{1+\left(\frac{v_{0}}{\omega L}\right)^{2}} .
$$
Зная уравнение движения, можно найти максимальную скорость диполя:
$$
v_{\max }=A \omega=\sqrt{v_{0}^{2}+2 \frac{q l E_{0}}{m}} .
$$
В силу симметрии задачи полное время $t$ пролета области электрического поля равно удвоенному времени полета от $x=-L$ до начала координат, то есть
$$
t=2 \frac{|\varphi|}{\omega}=2 \operatorname{arctg} \frac{\omega L}{v_{0}}=2 \operatorname{arctg} \sqrt{\frac{2 q l E_{0}}{m v_{0}^{2}}}.
$$