Pho.rs: Диаграмма плавкости

1 ^?? Измерьте комнатную температуру $T_0$.

Ответ: Измерим температуру воздуха в комнате $T_0=25,~^\circ С$. Будем в дальнейшем считать ее неизменной.

2 ^?? Снимите зависимость температуры олова от времени. Измерения проводите каждые $10$ с в течение $5$ минут.

Проведем измерения кривой остывания олова. Занесем данные в таблицу. В процессе остывания можно предположить, что выполняется закон Ньютона-Рихмана для тепловых потерь. Тогда вне фазового перехода можно записать для производной температуры:
$$C\frac{dT}{dt}=-\alpha(T-T_{0}),\tag{2}$$где $\alpha$ – коэффициент тепловых потерь, $T$ – текущая температура, $C$ – теплоемкость тигля с содержимым. Тогда послед интегрирования:
$$ \ln(T-T_0)=-\frac{\alpha}{C}t+const, \tag{3}$$где $const$ – константа, зависящая от начальной температуры. Таким образом на участках без фазового перехода график измеренной зависимости в координатах $\ln(T-T_0)$ должен описываться линейной функцией. Пересчитаем данные в таблице.

Ответ:

$T,~^\circ С$	$t,~с$	$\ln\left(\frac{T-T_0}{K}\right)$	$T,~^\circ С$	$t,~с$	$\ln\left(\frac{T-T_0}{K}\right)$
300.0	0	5.624	144.0	160	4.795
270.0	10	5.509	133.0	170	4.700
250.0	20	5.425	128.0	180	4.653
231.0	30	5.337	120.0	190	4.574
233.0	40	5.347	113.0	200	4.499
233.0	50	5.347	108.0	210	4.441
232.0	60	5.342	102.0	220	4.368
232.0	70	5.342	97.0	230	4.303
232.0	80	5.342	92.0	240	4.233
231.0	90	5.337	87.9	250	4.171
220.0	100	5.283	83.5	260	4.101
202.0	110	5.187	79.4	270	4.031
189.0	120	5.111	75.8	280	3.965
175.0	130	5.023	72.6	290	3.902
162.0	140	4.934	69.1	300	3.829
152.0	150	4.859

3 ^?? Предположите координаты, в которых график зависимости будет представлять из себя кусочно-линейную функцию. Постройте график измеренной зависимости в этих координатах.

Таким образом на участках без фазового перехода график измеренной зависимости в координатах $\ln(T-T_0)$ должен описываться линейной функцией. Построим требуемый график.

Ответ:

4 ^?? По графику определите, каким процессам соответствуют различные участки полученной зависимости. Рассчитайте угловые коэффициенты всех линейных участков зависимости. Найдите время отвердевания олова и температуру фазового перехода.

Ответ: Видно, что график описывается линейными функциями на участках остывания, с угловыми коэффициентами
$$k_{ж}=(9.4 \div 9.6) \cdot10^{-3}\,с^{-1}$$и $$k_{тв}=(7.2 \div 7.8) \cdot10^{-3}\,с^{-1}.$$
Процесс отвердевания происходит при температуре составляет
$$T_{пл}=232\,^\circ С$$ и длится в течение
$$\tau\approx (60 \div 70) \ с.$$

5 ^?? По полученным данным рассчитайте отношение теплоемкостей тигля с жидким оловом к теплоемкости тигля с оловом в твердом состоянии. Также рассчитайте отношение теплоты отвердевания олова к теплоемкости тигля с твердым оловом. Оцените погрешности полученных значений. В расчетах предполагайте, что температура всех частей тигля и олова внутри одинакова.

Ответ: Тогда отношение теплоемкостей:
$$ \frac{C_{тв}}{C_ж}=\frac{k_{ж}}{k_{тв}}=(1.27 \pm 0.06).\tag{4}$$Мощность потерь в этом случае идет на отвод тепла, выделяющегося при отвердевании:
$$ \lambda = \alpha (T_{пл}-T_0) \tau.\tag{5}$$Тогда для отношения теплоты плавления и теплоемкости тигля с твердым оловом имеем:
$$ \frac{\lambda}{C_{тв}}=k_{тв}(T_{пл}-T_0) \tau\approx (102 \pm 12) \,^\circ С. \tag{6}$$ Погрешности оценены методом границ.

1 ^?? Нагрейте $20\%$ смесь олова и свинца паяльником. Поместите внутрь тигля чувствительную часть термометра. Проведите измерение кривой остывания (температуры от времени) смеси по алгоритму, описанному в первой части.

Ответ:

Проведем аналогичный опыт со смесью с массовой долей свинца в 20\%.

$t,~с$	$T,~^\circ С$	$\ln\left(\frac{T-T_0}{K}\right)$	$t,~с$	$T,~^\circ С$	$\ln\left(\frac{T-T_0}{K}\right)$
0	293.0	5.595	160	154.0	4.868
10	269.0	5.501	170	145.0	4.796
20	245.0	5.398	180	137.0	4.727
30	231.0	5.333	190	129.0	4.654
40	216.0	5.258	200	122.0	4.585
50	212.0	5.236	210	115.0	4.511
60	211.0	5.231	220	110.0	4.454
70	206.0	5.204	230	105.0	4.394
80	202.0	5.182	240	100.0	4.331
90	197.0	5.153	250	95.0	4.263
100	189.0	5.106	260	90.0	4.190
110	182.0	5.063	270	86.0	4.127
120	178.0	5.037	280	83.0	4.078
130	178.0	5.037	290	79.0	4.007
140	175.0	5.017	300	76.0	3.951
150	166.0	4.956

2 ^?? Используя те же, что и в первой части преобразования измеренных величин, постройте график кривой остывания для этой смеси.

Ответ:

3 ^?? Отметьте на графике, а также запишите значения температуры ликвидуса $T_{л20}$ для данной концентрации смеси. Укажите на графике область, где происходит кристаллизация эвтектической смеси. Запишите температуру солидуса $T_{с20}$. Оцените погрешности полученных значений температур.

Ответ: На графике заметно резкое изменение наклона при температуре
$$T_{20л}=216\,^\circ С$$.
В этот момент растворимость олова в свинце падает настолько, что исходная концентрация олова становится равна предельной. Начинается процесс выпадения в осадок олова в смеси. Этот процесс идет с выделением тепла, что приводит к изменению наклона графика. В дальнейшем температура медленно уменьшается до достижения плато при температуре
$$T_{20с}=178\,^\circ С$$.
В этот момент жидкость становится эвтектической и начинают кристаллизоваться одновременно оба компонента смеси. После прекращения кристаллизации происходит следующее резкое изменение наклона.

4 ^?? Проведите аналогичные измерения для смеси с массовой долей свинца $40\%$, $60\%$ и $80\%$. Постройте на одном листе миллиметровой бумаги графики всех измеренных кривых остывания, обработанных тем же образом, что и в части 1. Запишите значения температур ликвидуса ($T_{л40}$, $T_{л60}$, $T_{л80}$) и солидуса ($T_{с40}$, $T_{с60}$, $T_{c80}$). Оцените погрешности полученных значений температур.

Также проведем опыты для оставшихся еще не исследованными концентраций смесей.

$t,~с$	$T,~^\circ С$	$\ln\left(\frac{T-T_0}{K}\right)$	$t,~с$	$T,~^\circ С$	$\ln\left(\frac{T-T_0}{K}\right)$	$t,~с$	$T,~^\circ С$	$\ln\left(\frac{T-T_0}{K}\right)$
0	295.0	5.602	0	298.0	5.613	0	298.0	5.613
10	269.0	5.501	10	270.0	5.505	10	273.0	5.517
20	250.0	5.421	20	251.0	5.425	20	272.0	5.513
30	233.0	5.342	30	233.0	5.342	30	263.0	5.476
40	218.0	5.268	40	222.0	5.288	40	247.0	5.407
50	204.0	5.193	50	212.0	5.236	50	234.0	5.347
60	191.0	5.118	60	202.0	5.182	60	219.0	5.273
70	180.0	5.050	70	190.0	5.112	70	203.0	5.187
80	179.0	5.043	80	182.0	5.063	80	191.0	5.118
90	179.0	5.043	90	177.0	5.030	90	179.0	5.043
100	179.0	5.043	100	177.0	5.030	100	177.0	5.030
110	178.0	5.037	110	177.0	5.030	110	173.0	5.004
120	178.0	5.037	120	177.0	5.030	120	161.0	4.920
130	178.0	5.037	130	174.0	5.011	130	149.0	4.828
140	177.0	5.030	140	159.0	4.905	140	140.0	4.754
150	177.0	5.030	150	151.0	4.844	150	132.0	4.682
160	174.0	5.011	160	141.0	4.762	160	125.0	4.615
170	165.0	4.949	170	133.0	4.691	170	120.0	4.564
180	157.0	4.890	180	125.0	4.615	180	115.0	4.511
190	147.0	4.812	190	119.0	4.554	190	110.0	4.454
200	137.0	4.727	200	115.0	4.511	200	105.0	4.394
210	132.0	4.682	210	109.0	4.443	210	100.0	4.331
220	125.0	4.615	220	104.0	4.382	220	95.0	4.263
230	119.0	4.554	230	99.0	4.317	230	90.0	4.190
240	114.0	4.500	240	94.0	4.249	240	86.0	4.127
250	107.0	4.419	250	88.0	4.159	250	82.0	4.060
260	103.0	4.369	260	85.0	4.111	260	78.0	3.989
270	98.0	4.304	270	81.0	4.043	270	75.0	3.932
280	94.0	4.249	280	77.0	3.970	280	72.0	3.871
290	90.0	4.190	290	74.0	3.912	290	69.0	3.807
300	86.0	4.127	300	71.0	3.850	300	66.0	3.738

Ответ:

5 ^?? Какая из исследованных смесей наиболее близка к эвтектической? Олово или свинец выпадает начинает выпадать в осадок при температуре ликвидуса в смеси с $20\%$ содержанием свинца?

Ответ: Видно, что при концентрациях в $60\%$ и $80\%$ графики ведут себя аналогично кривой остывания при концентрации $20\%$. А вот при концентрации в $40\%$ у графика не наблюдается изгиб характерный для выпадения в осадок одного из компонентов. Следовательно такая смесь такой концентрации свинца в припое наиболее близка к эвтектической среди изученных.

Также видно, что плато у графиков наблюдается при одинаковой температуре. То есть температура солидуса одинакова для всех изученных концентраций.

Температуры ликвидуса для концентраций в $60\%$ и $80\%$ составят соответственно $$T_{60л}=227\, ^\circ С$$,
$$T_{80л}=273\, ^\circ С.$$
Погрешность определения температур ликвидуса и солидуса оценим в
$$\Delta T = 3\,^\circ С.$$

1 ^?? Постройте в одних осях графики зависимости температуры ликвидуса и температуры солидуса от массовой доли свинца в смеси. На оси массовой доли поставьте деления, соответствующие нулевому и $100\%$ значению. Температурой ликвидуса в чистом олове считайте его температуру отвердевания.

Составим таблицу температур ликвидуса для разных концентраций и построим график температуры ликвидуса от массовой доли свинца в смеси.

Разумно предположить, что график из двух участков, убывающего и возрастающего. Пересечение этих участков происходит в эвтектической точке. Аппроксимировав точки зависимости температуры ликвидуса при высоких концентрациях свинца линейной функцией, можно сделать предположение, что температура плавления чистого свинца составляет $T_{пл} = (320 \pm 10)\, ^\circ С$ .

Ответ:

$\alpha,~\%$	$T_л,~ ^\circ С$
0	232
20	216
40	178
60	227
80	273

Ответ:

2 ^?? Нарисуйте на том же графике, как, на ваш взгляд, выглядят характерные линии, описывающие эти зависимости. Экстраполируйте данные до $100\%$ содержания свинца в смеси и оцените тем самым температуру отвердевания чистого свинца. Оцените погрешность полученного значения.

Ответ:

1 ^?? Оцените по полученным данным молярную теплоту плавления свинца, а также его температуру плавления.

Молярная концентрация определяется как:
$$ n=\frac{\nu_с}{\nu_с+\nu_о}=\frac{\frac{m_с}{\mu_с}}{\frac{m_с}{\mu_с}+\frac{m_о}{\mu_о}}=\frac{\frac{\alpha m}{\mu_с}}{\frac{\alpha m}{\mu_с}+\frac{(1-\alpha)m}{\mu_о}}=\frac{\alpha\mu_0}{\alpha\mu_0+(1-\alpha)\mu_с}.\tag{7}$$Пересчитаем массовые доли свинца в сплаве в молярные концентрации. Будем при этом использовать экспериментальные точки с массовой долей в $40\%,~60\%,~ 80\%. $Рассчитаем логарифмы от молярных концентраций и обратные температуры ликвидуса. Построим график зависимости $\ln(n)(1/T)$, который должен описываться линейной функцией в соответствии с законом Шредера Ле Шателье.

$\alpha,~\%$	$T_л,~ ^\circ С$	$1/T_л,\, 10^{-3}\cdot^\circ С^{-1}$	$n$	$\ln(n)$
40	178	−2.22	0.28	-1.28
60	227	−2.00	0.46	-0.77
80	273	−1.83	0.70	-0.36

Угловой коэффициент графика составит $K=2390\,^\circ С$.
Тогда молярная теплота плавления свинца составит:

Ответ: $$ \lambda_\nu=KR=20 \ кДж/моль.\tag{8}$$

Точка пересечения с горизонтальной осью позволяет определить температуру плавления свинца.

Ответ: $$T_{пл} = -\dfrac{1}{-0,00167}=598 \ К = 325 \ ^\circ С.$$

Диаграмма плавкости

Решение