1  ^?? Определите отношение внешнего $R$ и внутреннего $r$ радиусов пластикового кольца.

Для нахождения отношения внутреннего и внешнего радиуса $\frac{r}{R}$ пластикового кольца найдем отношение внутреннего радиуса кольца к внешнему радиусу трубки $r_0$ и отношение внешнего радиуса кольца к внешнему радиусу трубки $r_0$.
Чтобы найти $\frac{r}{r_0}$ поместим трубку в муфту штатива, не сильно зажимая. Повесим на трубку кольцо (см. рисунок 2). Будем вращать трубку, а кольцо будет вращаться из-за силы трения в точке подвеса. Когда трубка сделает $k_1 = 10$ оборотов, кольцо повернется на $k_2 = 6$ оборотов. Запишем кинематическую связь для этого движения:
$$ \omega_1 r_0 = \omega_2 r \tag{4}$$Откуда получается выражение на связь радиусов и количества оборотов:
$$ \frac{r}{r_0} = \frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{k_1}{k_2} = \frac{5}{3}\tag{5}$$Ошибка в определении числа $k_1$ практически отсутствует. Ошибка в определении числа $k_2$ составляет не более $\frac{1}{8}$ оборота.

Для определения отношения $\frac{r_0}{R}$ обмотаем поочередно кольцо и трубку отрезком нити одной длины. Во всей длине нити укладывается $k_3=10$ длин окружности трубки, и $k_4=4$ длин окружностей кольца:
$$ 2\pi r_0 k_3= 2\pi R k_4 \tag{6}$$Для отношения радиусов получаем:
$$ \frac{r_0}{R} = \frac{k_4}{k_3} =\frac{2}{5}\tag{7}$$Ошибка в определении $k_3$ и $k_2$ составляет порядка одной четверти.
Тогда получаем итоговое выражение для нахождения внутреннего и внешнего радиусов кольца:
$$ \frac{r}{R} = \frac{r}{r_0}\frac{r_0}{R} = \frac{k_1k_4}{k_2k_3} = \frac{2}{3}=\left(0.67\pm0.67\right) \tag{8}$$Погрешность значения $\frac{r}{R}$ составляет:
$$ \varepsilon_{\frac{r}{R}} = \varepsilon_{k_1}+\varepsilon_{k_2}+\varepsilon_{k_3}+\varepsilon_{k_4} =0+\frac{0.125}{6}+\frac{0.25}{10}+\frac{0.25}{4} \approx 11\%\tag{9}$$

2  ^?? Соберите установку, изображенную на рисунке 1. Для этого горизонтально закрепите в штативе отрезок пластиковой трубки. Наденьте пластиковое кольцо на трубку и перекиньте через него нить со скрепками на концах. В дальнейшем с помощью магнитов подвешивайте к скрепкам грузы различной массы (скрепки и гайки). Закрепите нить на кольце небольшим кусочком малярного скотча, чтобы нить не проскальзывала относительно кольца.

3  ^?? При помощи собранной вами установки измерьте зависимость массы груза $m_1$ от массы груза $m_2$ для моментов, когда кольцо переходит из состояния покоя в состояние проскальзывания относительно трубки.

Для измерения зависимости между $m_1$ и $m_2$ для момента начала проскальзывания между кольцом и трубкой распишем чему равны массы грузов $m_1$ и $m_2$ через количество гаек массой $m_г$ и скрепок массой $m_с$:
$$ m_1 = N_1 m_г + m_c\tag{10}$$$$ m_2 = N_2 m_г + n_2\tag{11} m_c$$Измерим зависимость нагрузки с одной стороны кольца, от нагрузки с другой стороны кольца:

4  ^?? Линеаризуйте зависимость, измеренную в пункте 3, и постройте соответствующий график.

Для вывода теоретической зависимости на схеме установки изобразим силы действующие на систему «Кольцо-нить-грузы» (см. рисунок 3):

• $m_1 g$, $m_2 g$ – силы тяжести, действующие на грузы;
• $Mg$ – сила тяжести, действующая на кольцо, приложенная к центру кольца;
• $N$ – сила нормальной реакции трубки;
• $F_\text{тр}$ – сила трения покоя, действующая на систему со стороны трубки.

Рассмотрим ситуацию, когда грузы $m_1$ и $m_2$ подобраны таким образом, что сила трения покоя достигла своего максимального значения ($F_\text{тр} = \mu N$). Дальнейшее увеличение массы $m_2$ приведет к проскальзыванию кольца по поверхности трубки.

Из второго закона Ньютона для системы в проекции на горизонтальную ось получаем:
$$ F_{тр} \cos \alpha - N \sin \alpha = 0\tag{12}$$Тогда коэффициент трения:
$$ \mu =\frac{F_{тр}}{N}= \tan \alpha \approx \sin \alpha~(для~малых~углов~ \alpha [рад] \ll 1)\tag{13}$$Записывая уравнение моментов для системы «Кольцо-нить-грузы» относительно точки $O$, получаем теоретическую связь между массой кольца и массами грузов с двух сторон нити:
$$ Mgr\sin \alpha +m_1g(R+r\sin \alpha) = m_2g(R-r\sin \alpha)\tag{14}$$Разделим все на $gR$ и сгруппируем слагаемые при $\sin \alpha$:
$$\frac{r}{R}\sin \alpha (M+m_1+m_2) = m_2-m_1\tag{15}$$Обозначим $x = m_1+m_2$, а $y = m_2-m_1$, тогда график $y(x)$ будет линейным с коэффициентом наклона $k = \frac{r}{R}\sin \alpha$ и смещением по горизонтальной оси $x_0 = -M$. Внесем в таблицу соответствующие значения суммы и разности масс грузов. Погрешность оцениваем как сумму абсолютных погрешностей каждой массы.

Построим график зависимости $y(x)$:

5  ^?? Используя график из пункта 4, найдите массу пластикового кольца $M$ и коэффициент трения $\mu$ внутренней поверхности кольца о поверхность трубки.

Смещение графика по горизонтальной оси:
$$ x_0 = -M = -(20\pm6)~г\tag{16}$$Отсюда получаем ответ на первый вопрос:

$$ M = (20\pm6)~г\tag{17}$$Наклон графика: 
$$ k = \frac{r}{R}\sin \alpha = 0.17\pm0.03\tag{18}$$Подставим полученный результат в прошлое выражение $18$ и найдем $\sin\alpha$:
$$ \sin \alpha = \frac{R}{r}k = 0.20\pm0.06\tag{19}$$Подставим все в итоговое выражение для коэффициента трения:
$$ \mu = \tan \alpha \approx \sin \alpha = 0.20\pm 0.06\tag{20}$$

Примечание

График $m_2(m_1)$ также будет линейным, однако, из его смещения $b$ и углового коэффициента $k$ выразить значения массы кольца и коэффициента трения будет несколько сложнее:

$$   m_2=\frac{Mr\sin\alpha}{R-r\sin\alpha}+m_1\frac{R+r\sin\alpha}{R-r\sin\alpha}$$
$$   b=\frac{M\sin\alpha}{\frac{R}{r}-\sin\alpha},\text{ } k=\frac{\frac{R}{r}+\sin\alpha}{\frac{R}{r}-\sin\alpha}$$