1  ^?? Измерьте зависимость скорости $v$ движения гребня волны от толщины $h$ слоя воды в кювете в диапазоне $h$ от $1.0$ до $4.5~см$.

Запустим процесс распространения волны в кювете. Для более точного определения скорости будем записывать время $t$ нескольких прохождений $N$ гребнем расстояния $l=(30 \pm 1) ~см$ от стенки до стенки. При этом значение $N$ не должно превышать $7$, так как при большем числе прохождений кюветы волна достаточно сильно затухает. Для расчета скорости воспользуемся формулой:
$$v=\frac{lN}{t} \tag{2}$$Проведем измерения времени $t$ для нескольких высот $h$ из указанного диапазона. Для получения достоверных результатов каждое время будем измерять $5$ раз. При измерении толщины слоя воды учтем, что край линейки не совпадает с началом шкалы. Для корректного измерения толщины будем проводить измерения, разместив кювету на краю стола, чтобы сопоставлять начало шкалы линейки и дно сосуда. Рассчитаем значение скорости движения гребня волны для каждой из высот на основании усредненного времени $t$.

2  ^?? Постройте график исследуемой зависимости $v(h)$.

Построим график исследованной зависимости.

3  ^?? Предположим, что скорость $v$ гребня волны зависит только от толщины $h$ слоя воды и ускорения свободного падения $g$ следующим образом:
$$v=A g^x h^y,$$где $A, x, y$ – безразмерные константы. Исходя из единиц измерения величин, входящих в уравнение (1), определите значения констант $x$ и $y$.

Воспользуемся методом размерностей для определения вида теоретической
$$ \frac{м}{с}=\frac{м^x}{с^{2x}}м^y.\tag3{}$$Составим уравнения на значений степеней:
$$ \begin{cases}
1= x+y\\
1 = 2x
\end{cases}\tag{4}$$Откуда получаем:
$$ \begin{cases}
y= 0.5\\
x = 0.5
\end{cases}\tag{5}$$Следовательно, формулу (1) можно записать в виде:

4  ^?? Проверьте, выполняется ли предположение пункта 3. Для этого постройте график зависимости $v(h)$ в координатах, в которых он может описываться линейной функцией. Если предположение пункта 3 выполняется, определите значение константы $A$ в уравнении (1).

Для проверки выполняемости теоретической модели, рассчитаем в таблице значения $\sqrt{gh}$ для каждого уровня воды в кювете и построим график зависимости $v(\sqrt{gh})$. Значение погрешности этой величины рассчитаем как $\Delta_{\sqrt{gh}} = \sqrt{gh} \cdot \frac{\Delta_h}{2 h}$.

Видно, что точки описываются прямой пропорциональностью с угловым коэффициентом $A=(0.97)\approx 1$. И действительно, теоретическое значение скорости распространения гребня при пренебрежении силами поверхностного натяжения составляет $v_{теор}=\sqrt{gh}$. То есть можно утверждать, что теоретическая модель с хорошей точностью описывает изучаемый процесс.