Соберём установку, описанную в условии задачи, и измерим зависимость фототока от расстояния между светодиодом и фотодиодом. Для того чтобы проводить измерения на расстояниях меньших длины кожуха, расположим светодиод на некотором расстоянии от линейки и вставим его в светозащитный кожух фотодиода до упора. Будем считать, что данное положение соответствует $r = 0~\text{см}$. Проведём измерения зависимости фототока фотодиода от расстояния до светодиода.
$r,~см$ $I_{ph},~мкА$ $1/\sqrt{I_{ph}},~мкА^{-0.5}$ $r,~см$ $I_{ph},~мкА$ $1/\sqrt{I_{ph}},~мкА^{-0.5}$ $r,~см$ $I_{ph},~мкА$ $1/\sqrt{I_{ph}},~мкА^{-0.5}$ 0 1929 0,0228 1,55 334 0,0547 4,85 45 0,1491 0,15 1419 0,0265 1,75 287 0,0590 5,85 31 0,1796 0,35 1265 0,0281 1,95 240 0,0645 6,85 23 0,2085 0,55 1119 0,0299 2,25 195 0,0716 8,35 16 0,2500 0,75 861 0,0341 2,55 160 0,0791 9,85 12 0,2887 0,95 685 0,0382 2,85 128 0,0884 11,35 9 0,3333 1,15 502 0,0446 3,35 90 0,1054 13,85 6 0,4082 1,35 412 0,0493 3,85 70 0,1195
При выключенном светодиоде показания амперметра составляют около 1-2 мкА. Для измерения фонового значения фототока с точностью $5\,\%$ переведём подключённый к фотодиоду мультиметр в режим вольтметра «2000 мВ». Так как сопротивление мультиметра в режиме вольтметра составляет $R_V=1\text{,}0 ~ МОм$, то показания вольтметра составят несколько сотен – тысяч милливольт.
Свет от излучающего кристалла в светодиоде попадает на линзу, формирующую почти точечное мнимое изображение кристалла (см. рис. 1). Таким образом, распространяющийся пучок света в простейшей модели выходит из точечного источника, находящегося внутри светодиода.
Пусть в небольшой окрестности осевого направления светодиода мощность света, излучаемого светодиодом в единицу телесного угла, постоянна и равна $N_\Omega$. Тогда если фотодиод имеет площадь поверхности $S$ и находится на расстоянии $R$ от изображения кристалла светодиода, мощность падающего на него света может быть рассчитана как:
\begin{equation}
N=N_\Omega\frac{S}{R^2}.
\end{equation}
В эксперименте возможно измерить лишь расстояние $r$ между фотодиодом и вершиной линзы светодиода. Формулу для получаемой светодиодом мощности можно записать в следующем виде:
\begin{equation}
N=N_\Omega\frac{S}{(r+a)^2},
\end{equation}
где $a$ -- расстояние между изображением кристалла светодиода и вершиной линзы светодиода.
Предположим, что фототок светодиода пропорционален падающей на него мощности света:
\begin{equation}
I_{ph}=\gamma N.
\end{equation}
\pagebreak
Тогда зависимость фототока от расстояния $r$ может быть описана функцией:
\begin{equation}
I_{ph}=\gamma N_\Omega\frac{S}{(r+a)^2}.
\end{equation}
Преобразуем данное выражение:
\begin{equation}
\frac{1}{\sqrt{I_{ph}}}=\left(r+a\right)\frac{1}{\sqrt{\gamma S N_\Omega}}.
\end{equation}
Для проверки предположений построим график зависимости $\frac{1}{\sqrt{I_{ph}}}(r)$. Видно, что график описывается линейной функцией в области $r > 1~\text{см}$, что говорит о выполнении высказанных предположений, в частности, о прямой пропорциональности между фототоком и мощностью падающего на фотодиод света. В области графика $r < 1 ~\text{см}$ площадь фотодиода сравнима с $R^2$ и зависимость не является линейной.
Установим фотодиод и светодиод вплотную друг к другу. Модифицируем схему питания светодиода в соответствии с рисунком 3.
$I,~мА$ $I_{ph},~мкА$ $I,~мА$ $I_{ph},~мкА$ 0,14 2 8,82 585 0,53 12 10,9 740 0,9 25 12,52 873 1,4 54 14,4 1009 2 91 16,1 1145 3,2 164 18,27 1313 5,1 297 20,3 1472 6,39 399 21,2 1525 7,4 467 23,8 1730
Построим график исследованной зависимости. Можно заметить, что при малых токах зависимость имеет нелинейный характер. То есть мощность излучения света не является прямо пропорциональной силе тока во всём диапазоне измерений. Стоит отметить, что в значительной области она линейна. Впоследствии все измерения будем проводить при максимальной силе тока.
Соберем гониометр, описанный в условии задачи, и измерим зависимость фототока от угла между осями светодиода и фотодиода.
$\varphi, ^\circ$ $I_{ph}, \ мкА$ $\varphi, ^\circ$ $I_{ph}, \ мкА$ $\varphi, ^\circ$ $I_{ph}, \ мкА$ 0 23 31 0,65 61 0,77 1 22 32 0,64 62 0,87 2 22 33 0,63 63 0,93 3 24 34 0,62 64 0,9 4 27 35 0,61 65 0,81 5 27 36 0,59 66 0,74 6 24 37 0,58 67 0,68 7 19 38 0,57 68 0,59 8 14 39 0,56 69 0,52 9 10 40 0,54 70 0,46 10 8 41 0,53 71 0,42 11 7,32 42 0,51 72 0,38 12 6,58 43 0,51 73 0,32 13 4,61 44 0,5 74 0,28 14 2,8 45 0,48 75 0,25 15 1,8 46 0,44 76 0,21 16 1,46 47 0,44 77 0,18 17 1,2 48 0,43 78 0,16 18 1,05 49 0,42 79 0,14 19 0,93 50 0,4 80 0,13 20 0,86 51 0,38 81 0,11 21 0,82 52 0,39 82 0,1 22 0,79 53 0,38 83 0,09 23 0,76 54 0,38 84 0,08 24 0,73 55 0,4 85 0,07 25 0,71 56 0,41 86 0,06 26 0,7 57 0,43 87 0,06 27 0,7 58 0,53 88 0,05 28 0,7 59 0,61 89 0,05 29 0,68 60 0,73 90 0,05 30 0,67 61 0,77
Построим график полученной зависимости. На графике виден локальный максимум вблизи нулевого направления (наблюдается не для всех диодов) и локальный максимум на угле $\varphi\approx63^\circ$ (наблюдается на всех диодах). Искомый угол ослабления интенсивности луча в 5 раз относительно центра диаграммы составляет $\varphi_{1/5}\approx14^\circ$.
Соберём установку для поиска первого дифракционного максимума. Поскольку токи малы, будем использовать мультиметр в режиме вольтметра.
Ниже представлен график относительной интенсивности с учётом фона в логарифмическом масштабе. $\textbf{СТРОИТЬ ДАННЫЙ ГРАФИК ОТ УЧАСТНИКА НЕ ТРЕБОВАЛОСЬ, ПРЕДСТАВЛЕН ДЛЯ НАГЛЯДНОСТИ!}$
$\varphi_{1} = (30,0\pm1,0)^\circ$
На графике наблюдается два максимума, соответствующие нулевому и первому порядкам дифракции. Длина волны максимума спектра светодиода $\lambda_{led}$ может быть рассчитана через угол между осью светодиода и направлением на первый максимум дифракции $\varphi_{1}$ с помощью формулы для дифракционной решетки:
\begin{equation}
\lambda_{led}=d\sin{\varphi_{1}}=\sin{(30{,}0\pm1{,}0)^\circ}\cdot\frac{1~\text{мм}}{500}=(1000\pm40)~\text{нм}.
\end{equation}
Получим аналогичным способом спектр дифракционной картины для лазерной указки.
$\varphi, ^\circ$ $I_{ph}, \ мкА$ $I_{ph0}, \ мкА$ $\ln{\frac{I_{ph}-I_{ph0}}{(I_{ph}-I_{ph0})_{max}}}$ $\varphi, ^\circ$ $I_{ph}, \ мкА$ $I_{ph0}, \ мкА$ $\ln{\frac{I_{ph}-I_{ph0}}{(I_{ph}-I_{ph0})_{max}}}$ 0 680 0,69 0,000 23 6,64 0,75 -4,748 1 535 0,69 -0,240 24 13 0,76 -4,016 2 153 0,69 -1,495 25 12 0,77 -4,102 3 17 0,69 -3,729 26 4,1 0,78 -5,321 4 2,7 0,69 -5,823 27 1,68 0,78 -6,626 5 2 0,69 -6,251 28 1,44 0,77 -6,922 6 1,85 0,69 -6,373 29 1,32 0,8 -7,175 7 1,76 0,69 -6,453 30 1,44 0,8 -6,967 8 1,69 0,69 -6,521 31 2 0,8 -6,339 9 1,65 0,69 -6,562 32 7,96 0,8 -4,553 10 1,61 0,69 -6,604 33 10 0,8 -4,302 11 1,59 0,71 -6,649 34 4,5 0,8 -5,213 12 1,56 0,72 -6,695 35 1,89 0,8 -6,435 13 1,53 0,73 -6,744 36 1,47 0,8 -6,922 14 1,68 0,75 -6,594 37 1,37 0,8 -7,083 15 8,01 0,75 -4,539 38 1,4 0,81 -7,049 16 13 0,75 -4,016 39 1,43 0,82 -7,015 17 2,21 0,75 -6,143 40 1,4 0,82 -7,066 18 1,55 0,75 -6,744 41 1,38 0,85 -7,156 19 1,5 0,75 -6,809 42 1,39 0,84 -7,119 20 1,49 0,75 -6,822 43 1,39 0,87 -7,175 21 1,48 0,75 -6,836 44 1,39 0,89 -7,214 22 1,61 0,75 -6,672 45 1,39 0,89 -7,214
Построим график полученной зависимости.
На графике наблюдаются 3 максимума: $$\varphi_1 = (16\pm1)^\circ, ~\varphi_2 = (24\pm1)^\circ, ~\varphi_3 = (33\pm1)^\circ$$Длине волны $\lambda_{1}$ соответствуют два дифракционных максимума на углах:
$$\varphi_1 = (16\pm1)^\circ~\text{и}
~\varphi_3 = (33\pm1)^\circ$$.
Установим кювету с раствором марганцовки на пути пучка лазера. Нетрудно заметить, что через кювету зелёный свет не проходит. Это означает, что в значительной степени видимый диапазон излучения лазера поглощается раствором.
Вновь получим спектр дифракционной картины и построим её график.
$\varphi, ^\circ$ $I_{ph}, \ мкА$ $I_{ph0}, \ мкА$ $\ln{\frac{I_{ph}-I_{ph0}}{(I_{ph}-I_{ph0})_{max}}}$ $\varphi, ^\circ$ $I_{ph}, \ мкА$ $I_{ph0}, \ мкА$ $\ln{\frac{I_{ph}-I_{ph0}}{(I_{ph}-I_{ph0})_{max}}}$ 0 169 0,69 0,000 23 8 0,75 -3,145 1 163 0,69 -0,036 24 9 0,76 -3,017 2 74 0,69 -0,831 25 4,3 0,77 -3,865 3 13 0,69 -2,615 26 1,77 0,78 -5,136 4 4 0,69 -3,929 27 1,56 0,78 -5,374 5 3,31 0,69 -4,163 28 1,55 0,77 -5,374 6 2,87 0,69 -4,346 29 1,59 0,8 -5,362 7 2,52 0,69 -4,521 30 1,9 0,8 -5,030 8 2,35 0,69 -4,619 31 5,54 0,8 -3,570 9 2,1 0,69 -4,782 32 7,13 0,8 -3,281 10 2,06 0,69 -4,811 33 4,13 0,8 -3,923 11 1,93 0,71 -4,927 34 1,94 0,8 -4,995 12 1,86 0,72 -4,995 35 1,44 0,8 -5,572 13 1,82 0,73 -5,040 36 1,38 0,8 -5,671 14 1,77 0,75 -5,106 37 1,36 0,8 -5,706 15 1,72 0,75 -5,156 38 1,35 0,81 -5,742 16 1,69 0,75 -5,188 39 1,29 0,82 -5,881 17 1,65 0,75 -5,231 40 1,29 0,82 -5,881 18 1,63 0,75 -5,254 41 1,29 0,85 -5,947 19 1,62 0,75 -5,265 42 1,29 0,84 -5,924 20 1,62 0,75 -5,265 43 1,29 0,87 -5,993 21 1,73 0,75 -5,146 44 1,29 0,89 -6,042 22 4,73 0,75 -3,745 45 1,29 0,89 -6,042
Сопоставим два спектра, чтобы исключить второй дифракционный максимум для длины волны $\lambda_{1}=532 \ нм$.
Можно обратить внимание, что два полученных спектра похожи, но у последнего отсутствует максимум в районе $16^\circ$, отвечающий первому дифракционному максимуму зелёного света. При этом пик, находящийся на месте второго дифракционного максимума зелёного света, на спектре остался. Это указывает на наличие в спектре лазера другой длины волны, для которой дифракционный максимум первого порядка находится на этом месте.
То есть в спектре лазера присутствуют длины волн:
\[\begin{gathered}
\lambda_1=d\sin(16\pm1)^\circ=(550\pm40) \ нм;\\
\lambda_2=d\sin(32\text{,}5\pm1\text{,}0)^\circ=(1070\pm30) \ нм.
\end{gathered}\]
Также на обоих спектрах присутствует ещё один пик, соответствующий ещё одной длине волны инфракрасного излучения, который также отвечает спектру излучения лазера:
\begin{equation}
\lambda_3=d\sin(24\pm1)^\circ=(810\pm30) \ нм.
\end{equation}
Для объяснения полученных спектров необходимо иметь представление о базовых принципах работы лазера.
Как известно из квантовой механики, некоторые системы, в том числе атомы, обладают дискретным спектром энергий. Рассмотрим простейший модельный пример системы-атома с дискретным спектром: двухуровневая система. Как следует из названия, энергия такой системы может принимать только два значения: $E_1$ и $E_2$ (считаем $E_1 < E_2$). Состояние с энергией $E_1$ называется основным, с $E_2$ – возбуждённым. Согласно статистике Больцмана в термодинамическом равновесии для количества атомов $N_i$ в состоянии с энергией $E_i$ верно
$$N_i \propto \exp \left(-\frac{E_i}{k T} \right).$$Это значит, что в термодинамическом равновесии $N_1 > N_2$.
В двухуровневой системе возможны переходы между уровнями, при этом изменяется полная энергия системы. Энергия может поглощаться или излучаться в виде фотонов. Для двухуровневой системы возможны три принципиально разных процесса взаимодействия с фотонами.
1. Спонтанное излучение. Атом спонтанно переходит из возбужденного состояния в основное, процесс сопровождается излучением фотона. Согласно закону сохранения энергии частота фотона определяется соотношением $$h \nu = E_2 - E_1.$$ Вероятность спонтанного излучения в единицу времени не зависит от $N_1$ и $N_2$.
2. Вынужденное излучение. Если в систему попадает фотон с частотой $\nu = \frac{E_2 - E_1}{h}$ (иными словами, система освещается светом, содержащим спектральную компоненту $\nu$), то может произойти переход атома с возбужденного состояния в основное с излучением фотона с частотой $\nu$. При этом «новый» и индуцирующий фотоны оказываются когерентными: их энергия, импульс, поляризация, и направление распространения совпадают. Таким образом происходит усиление света. Вероятность вынужденного излучения пропорциональна количеству атомов, находящихся в возбуждённом состоянии, и интенсивности внешнего излучения $I$: $$P_{E} = A N_2 I.$$
3. Поглощение. Фотон частоты $\nu = \frac{E_2 - E_1}{h}$, попадающий в систему, может быть поглощён ею. Поглощение сопровождается переходом атома из основного состояния в возбуждённое. Вероятность поглощения пропорциональна количеству атомов, находящихся в основном состоянии, и интенсивности внешнего излучения $I$: $$P_A = A N_1 I$$
Таким образом, если $N_1 > N_2$, то $P_A > P_E$ – происходит больше процессов поглощения, чем вынужденного излучения света, в итоге внешнее излучение поглощается (вклад процессов спонтанного излучения обычно невелик). Если же окажется $N_1 < N_2$ (так называемая инверсия населённостей), то процессов вынужденного излучения станет больше чем процессов поглощения, и внешнее излучение будет эффективно усиливаться средой. В этом и состоит основной принцип работы лазера.
Примечание. Слово LASER является аббревиатурой: «Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation» – «Усиление света за счёт вынужденного излучения».
Однако возникает проблема: оказывается, что в двухуровневой системе создать инверсию населённостей невозможно. Однако если добавить к системе ещё уровень, сделав систему трёхуровневой, то представляется возможным создать инверсию населённостей между уровнями 1 и 2.
Предположим, что атомы, находящиеся на уровне 3, за очень короткое время (гораздо меньше характерного времени спонтанного излучения $2 \rightarrow 1$) безызлучательно релаксируют на уровень 2. При безызлучательном переходе «высвободившаяся» энергия может быть, например, передана кристаллической решётке, возбуждая её колебания.
Пусть теперь система освещается светом с частотой $\nu_p = \frac{E_3 - E_1}{h}$. Это вызывает поглощательные переходы $1 \rightarrow 3$ и излучательные переходы $3 \rightarrow 1$. Как было сказано выше, атомы быстро релаксируют с уровня 3 на уровень 2, так что количество атомов с энергией $E_3$ мало. В силу того, что вероятности поглощения и излучения пропорциональны $N_1$ и $N_3$ соответственно, и $N_3 < N_1$, результирующе излучение поглощается, «забрасывая» атомы на уровень 3, а затем происходит быстрая релаксация на уровень 2. При некоторых параметрах системы и внешнего излучения удаётся таким образом добиться выполнения условия $N_2 > N_1$.
Пусть такая система, называемая активной средой, помещена в оптический резонатор, выпускающий наружу только лишь малую часть излучения. Тогда если в ходе спонтанного перехода $2 \rightarrow 1$ в системе возникнет фотон с частотой $\nu = \frac{E_2 - E_1}{h}$, он с большой вероятностью отразится от стенок резонатора и вернётся в систему, потенциально вызывая вынужденное излучение $2 \rightarrow 1$. В результате лавинно возникает излучение с частотой $\nu$, причём как было сказано ранее, все фотоны в этом случае когерентны, то есть «усиливают» друг друга и распространяются в одном направлении. Малая часть этого излучения, выходящая из резонатора, и является лазерным лучом.
Ещё раз подчеркнём, что излучение с частотой $\nu_p = \frac{E_3 - E_1}{h}$, называемое накачкой, не обязано быть направленным или сильно сфокусированным. Выходное же излучение лазера оказывается направленным.
Отметим, что рассмотренная трехуровневая система является сильным упрощением схемы реальных энергетических уровней в активных средах лазеров, однако позволяет качественно объяснить основные принципы работы устройства.
Так как для света $\lambda = c/\nu$, то длина волны накачки меньше, чем длина волны перехода $2 \rightarrow 1$.
Всё вышесказанное позволяет объяснить два из трёх наблюдаемых максимумов (приведены теоретические значения длин волн): $\lambda_2^{th} = 1064~нм$ соответствует основному переходу $2 \rightarrow 1$, $\lambda_3^{th} = 808~нм$ соответствует длине волны накачки.
До сих пор не объяснено наличие зелёного цвета с длиной волны $\lambda_1^{th} = 532~нм$ в спектре излучения лазера. Нетрудно заметить, что $\lambda_1^{th} = \lambda_2^{th} / 2$, и это не случайно. За возникновение зелёного излучение ответственно явление, называемое генерация второй гармоники.
Как известно, попадающее на диэлектрик излучение вызывает поляризацию среды, причём поляризация $\vec{P}$ является некоторой функцией напряжённости поля $\vec{E}$. В простейшем случае зависимость линейна:
$$\vec{P} = \alpha \vec{E},$$
Однако при увеличении напряженности поля зависимость перестаёт быть линейной, и необходимо учитывать квадратичную поправку к этой зависимости. В простейшем случае, когда $\vec{P}$ и $\vec{E}$ сонаправлены, для их проекций можно написать:
$$P = \alpha E + \beta E^2$$.
Если на среду падает гармоническая волна, в каждой точке среды напряжённость меняется по закону
$$E = E_0 \cos \omega t.$$
Тогда для с учётом $\cos^2 \omega t = \frac{1}{2} \left(\cos 2\omega t + 1\right)$:
$$P = \alpha E_0 \cos \omega t + \frac{\beta}{2} E_0^2 \cos 2\omega t + \frac{\beta}{2} E_0^2.$$
Как известно, колебания дипольного момента среды приводит к излучению с частотой, равной частоте колебаний. Таким образом, в спектре излучения среды будет присутствовать частота $2 \omega$. Так как $\omega \lambda = 2 \pi c$, второй гармонике соответствует вдвое меньшая длина волны, чем основной.
В лазерной указке происходит генерация второй гармоники, в ходе чего возникает излучения с длиной волны $\lambda_1^{th} = \lambda_2^{th}/2 = 532~нм$, которое и является видимым зелёным светом. Стоит отметить, что эффективность генерации второй гармоники невелика, и, как правило, составляет $10-20 \%$.