Мы хотим определить спектральное распределение яркости $B(k)$ источника. Для этого интерферометр Майкельсона используется как модулятор (Рис. 1).

Точечный источник $P$ помещается в фокусе коллиматора $L_{1}$. Одно из зеркал строго параллельно изображению другого, образованному делителем пучка $S_{p}$. Зеркало $M_{1}$ движется с постоянной скоростью, начиная с положения, соответствующего нулевой разности хода.

Часть А. Считается, что путь зеркала неограничен

Обозначив через $\Delta$ разность хода от двух зеркал, рассчитайте интенсивность света, попадающего на фотоэлемент $R$ (помещенный в фокусе линзы $L_{2}$):

A1.1 Для монохроматического источника ($k_{0}$).

A1.2 Для случая, когда спектр содержит $k_{1}$ и $k_{2}$.

A2 Выражение для интенсивности можно представить в виде суммы постоянного члена (средняя интенсивность) и члена, зависящего от $\Delta$. Эти два члена, умноженные на $2$, образуют интерферограмму $I(\Delta)$.

Покажите, что функции $B(k)$ и $I(\Delta)$ могут быть получены одна из другой при помощи преобразования Фурье. Для упрощения этих расчетов полезно искусственно ввести спектр $B(-k)$, состоящий из отрицательных частот и симметричный спектру $B(k)$. Затем можно использовать следующее свойство: фурье–преобразование четной функции есть четная функция. Во всех этих задачах функции нормируются.

Приложение

A3

Опишите и вычислите интерферограмму для следующих случаев:

1. Источник испускает монохроматическое излучение $B\left(k_{0}\right)=\delta\left(k-k_{0}\right)$
2. Луч является дублетом: $B(k)=\alpha_{1} \cdot \delta\left(k-k_{1}\right)+\alpha_{2} \cdot \delta(k-k_{2}$) ($\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ – постоянные, меньшие единицы)
3. Луч имеет гауссову форму$$B(k)=\exp \left[-\pi\left(\frac{k-k_{0}}{\mathrm d k}\right)^{2}\right]$$

Часть B. Движение зеркала ограничено. Разрешающая сила

B1 Величина $\Delta$ может изменяться только между нулем и максимальным значением $L$. Спектральное распределение, которое получается, если в прибор поступает строго монохроматическое излучение с волновым числом $k_{0}$, спектроскописты называют «инструментальным контуром». Исходя из интерферограммы, ограниченной величинами $\Delta=0$ и $\Delta=L$, получите инструментальный контур и представьте его графически.