A1.1  ^?? Для монохроматического источника ($k_{0}$).

Лучи падают нормально к поверхностям зеркал

Для излучения с волновым числом $\sigma$ две плоские интерферирующие волны имеют разность фаз $$\varphi=2 \pi \sigma \Delta. \tag{1}$$ В $L_{2}$ происходит интерференция, которая регистрируется в $F$

Рассмотрим идеальный случай, когда движение зеркала $M_{1}$ не ограничено

Пусть $I_{t}$ будет суммарной интенсивностью, полученной в $R$.

Монохроматический источник

$$I_{t}=B\left(k_{0}\right) \cos ^{2} \pi k_{0} \Delta=\frac{B\left(k_{0}\right)}{2}\left(1+\cos 2 \pi k_{0} \Delta\right) \tag{2}$$

A1.2  ^?? Для случая, когда спектр содержит $k_{1}$ и $k_{2}$.

Полихроматический источник

Вклад в интенсивность излучения от каждой длины волны в интервале $\mathrm d \sigma$ равен $$\mathrm d l_{t}=B(k) \cos ^{2} \pi k\Delta \,\mathrm d k,$$ следовательно, $$I_{t}=\int_{k_{1}}^{k_{2}} \frac{B(k)}{2}\left [1+\cos 2 \pi k\Delta\right] \mathrm d k\tag{3}$$

A2  ^?? Выражение для интенсивности можно представить в виде суммы постоянного члена (средняя интенсивность) и члена, зависящего от $\Delta$. Эти два члена, умноженные на $2$, образуют интерферограмму $I(\Delta)$.

Покажите, что функции $B(k)$ и $I(\Delta)$ могут быть получены одна из другой при помощи преобразования Фурье. Для упрощения этих расчетов полезно искусственно ввести спектр $B(-k)$, состоящий из отрицательных частот и симметричный спектру $B(k)$. Затем можно использовать следующее свойство: фурье–преобразование четной функции есть четная функция. Во всех этих задачах функции нормируются.

Таким образом, интерферограмма имеет вид
$$I(\Delta)=\int_{k_{1}}^{k_{2}} B(k) \cos 2 \pi k\Delta \mathrm d k$$Имеются только положительные частоты, поэтому
$$I(\Delta)=\int_{0}^{\infty} B(k) \cos 2 \pi k\Delta \,\mathrm d k \tag{4}$$В качестве примера на Рис. 2 приведена функция $B(k)$.

Построим искусственный спектр $B(-k)$, симметричный предыдущему, в области отрицательных частот. Если $B_{p}(k)$ – четная часть функции $B(k)$, то можно написать (Рис. 3)
$$B_{p}(k)=\frac{1}{2}\left [B(k)+B(-k)\right ]. \tag{5}$$

Тогда уравнение $(4)$ может быть представлено в виде
$$I(\Delta)=\int_{-\infty}^{+\infty} B_{p}(k) \cos 2 \pi k\Delta\, \mathrm d k=\int_{-\infty}^{+\infty} B_{p}(k) e^{j 2 \pi k\Delta}\, \mathrm d k\tag{6}$$

Если интерферограмма точно известна для величины $\Delta$, изменяющейся между 0 и $\infty$ (в действительности между $-\infty$ и $+\infty$, так как она симметрична), то спектр может быть построен при помощи преобразования Фурье:
$$B_{p}(\sigma)=\int_{-\infty}^{+\infty} I(\Delta) \cos 2 \pi k\Delta \,\mathrm d \Delta=\int_{-\infty}^{+\infty} I(\Delta) e^{-j 2 \pi k\Delta}\, \mathrm d \Delta, \tag{7}$$

A3  ^??

Опишите и вычислите интерферограмму для следующих случаев:

1. Источник испускает монохроматическое излучение $B\left(k_{0}\right)=\delta\left(k-k_{0}\right)$
2. Луч является дублетом: $B(k)=\alpha_{1} \cdot \delta\left(k-k_{1}\right)+\alpha_{2} \cdot \delta(k-k_{2}$) ($\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ – постоянные, меньшие единицы)
3. Луч имеет гауссову форму$$B(k)=\exp \left[-\pi\left(\frac{k-k_{0}}{\mathrm d k}\right)^{2}\right]$$

Примеры

Если известна функция $B(k)$, то можно получить $B_{p}(k)$, а отсюда и интерферограмму с помощью преобразования Фурье (Рис. 4).

1. $B(k)=\delta\left(k-k_{0}\right)$, $$B_{p}(k)=\delta\left(k+k_{0}\right)+\delta\left(k-k_{0}\right) \rightarrow I(\Delta)=\cos 2 \pi k_{0} \Delta;$$ 
2. $$B(k)=\alpha_{1} \delta\left(k-k_{1}\right)+\alpha_{2} \delta\left(k-k_{2}\right) \rightarrow I(\Delta)=\alpha_{1} \cos 2 \pi k_{1} \Delta+\alpha_{2} \cos 2 \pi k_{2} \Delta.$$ В специальном случае, когда $\alpha_{1}=\alpha_{2}$, минимумы огибающей равны нулю.
3. $$B(k)=\exp \left[-\pi\left(\frac{k-k_{0}}{\mathrm d k}\right)^{2}\right]=\delta\left(k-k_{0}\right) \cdot \exp \left[-\pi\left(\frac{k}{\mathrm d k}\right)^{2}\right]$$
   Применяя теорему свертки, получаем
   $$I(\Delta)=\cos 2 \pi k_{0} \Delta \cdot e^{-\pi(\mathrm d k\cdot \Delta)^{2}}$$
   Огибающая имеет ширину $1/\mathrm d k$ (Рис. 5).

B1  ^?? Величина $\Delta$ может изменяться только между нулем и максимальным значением $L$. Спектральное распределение, которое получается, если в прибор поступает строго монохроматическое излучение с волновым числом $k_{0}$, спектроскописты называют «инструментальным контуром». Исходя из интерферограммы, ограниченной величинами $\Delta=0$ и $\Delta=L$, получите инструментальный контур и представьте его графически.

Разрешающая сила

Ограниченная интерферограмма $\left (0< \Delta_{0} < L\right)$

Эта интерферограмма может быть представлена функцией $I'(\Delta)$: $$I'(\Delta)=I(\Delta) \cdot F(\Delta) \tag{8}$$ где \[F(\Delta)=\left\{\begin{array}{lll} 1 & \quad для \quad & -L<\Delta<+L, \tag{9}\\ 0 & \quad для \quad & \Delta<-L \quad и \quad\Delta > L \end{array}\right.\] Используя теорему Парсеваля, можно написать $$G_{p}(k)=\mathcal F\left[I'\left(\Delta_{0}\right)\right]=\mathcal F\left[I\left(\Delta_{0}\right)\right] \otimes \mathcal F \left[F\left(\Delta_{0}\right)\right] \tag{10}$$ Преобразование Фурье для щелевой функции имеет вид $$\mathcal F [F(\Delta)]=\frac{\sin 2 \pi kL}{2 \pi kL} \tag{11}$$ следовательно, $$G_p(k)=\frac{\sin 2 \pi\left(k-k_{0}\right) L}{2 \pi\left(k-k_{0}\right) L}+\frac{\sin 2 \pi\left(k+k_{0}\right) L}{2 \pi\left(k+k_{0}\right) L} \tag{12}$$ Инструментальный контур приведен на Рис. 6. $$G(k)=\frac{\sin 2 \pi\left(k-k_{0}\right) L}{2 \pi\left(k-k_{0}\right) L}; \tag{13}$$ здесь $G(k)$ – спектр, полученный от строго монохроматического источника излучения; он имеет ширину $\Delta k=1/2 L$.

Тогда разрешающая сила для излучения $\sigma_{0}$ описывается выражением $$R=\frac{k_{0}}{\Delta k}=k_{0} \cdot 2 L=\frac{2 L}{\lambda_{0}}=2 N$$ Таким образом, разрешающая сила пропорциональна числу зарегистрированных полос $N$. 

 

 

Численный пример

$$L=10^{3}, \quad \lambda=0.5~мкм,$$ $$R=\frac{2 \cdot 10^{3}}{0.5}=4000$$