A1  ^?? При помощи отъюстированной установки покажите, что две плоские волны, распространяющиеся вдоль оси $Cx$, когерентны и синфазны. Какова интенсивность каждого отдельного луча? $I_{0}$ – интенсивность источника. Коэффициенты пропускания и отражения для делителей лучей точно равны $1/2$. Поместите объектив с фокусным расстоянием $d$ в $O_{2}$, так что $CO_{2}=d$. Этот объектив дает действительное изображение плоскости $P$, лежащей на $BC$, в плоскости $B'$. Что наблюдается в плоскости $P'$?

Интерферометр с равным ходом лучей

Лучи $1$ и $2$, исходящие из одного и того же точечного источника, распространяются как когерентные волны:

•  геометрические пути $A B C$ и $A D C$ равны,
•  отражения в $A$ и $B$ с одной стороны и в $D$ и $C$ с другой стороны одинаковы, и каждый луч проходит через делитель луча один раз.

Следовательно, оптические пути равны, и волны, идущие вдоль $Cx$, находятся в фазе.

Поскольку источник точечный, интерференция не локализована.

После отражения в $A$ луч $1$ переносит энергию $I_{0}/2$, и после прохождения через второй делитель луча $C$ его энергия падает до величины $I_{0}/4$. Оба интерферирующих колебания имеют амплитуду $\sqrt{I_{0}/4}$. Таким образом, световое поле в направлении $Cx$ равномерно освещено: $$I_{1}=\left(2 \sqrt{\frac{I_{0}}{4}}\right)^{2}=I_{0} \tag{1}$$

Примечание

Если вдоль $Cx$ мы наблюдаем интерференцию с усилением, то вдоль направления $C y$, которое перпендикулярно $C x$, мы обнаруживаем интерференцию с ослаблением, так как отражения на делителе луча $C$ имеют разную природу (воздух стекло для луча $C x$ и стекло – воздух для луча $C y$).

Плоскости $P$ и $P'$ являются сопряженными с единичным увеличением, так как они представляют собой главные плоскости объектива $O_{2}$. Позднее в этой задаче мы сочтем целесообразным для проведения измерений убрать плоскость наблюдения из интерферометра.

A2  ^?? Поместите в $P$ тонкую пленку (будем считать, что толщина, поглощение и дисперсия пренебрежимо малы, а фазовый сдвиг постоянен). Опишите новый вид светового поля в плоскости $P$. Покажите, что при помощи фотометрического измерения можно определить сдвиг фаз $\varphi$, вносимый пленкой $L$. В качестве определения контрастности примем $$\Gamma=\frac{I_{макс}-I_{мин}}{I_{макс}}.$$

Пленка $L$, помещенная в плоскости $P$, вызывает постоянный фазовый сдвиг для всех лучей, которые ее пересекают. Эти лучи обладают амплитудой $$\sqrt{\frac{I_{0}}{4}} \cdot e^{j \varphi}$$ тогда как амплитуда лучей $2$ остается равной $$\sqrt{\frac{I_{0}}{4}}.$$ Таким образом, освещенность изображения пленки есть $$I_{2}=\frac{I_{0}}{2}[1+\cos \varphi] \leqslant I_{0} \tag{2}$$ Объект будет выглядеть более или менее темным на ярком фоне (Рис. 2) с контрастностью $$\Gamma=\frac{I_{макс}-I_{мин}}{I_{макс}} =\frac{I_{1}-I_{2}}{I_{1}}=\frac{1-\cos ^{2} \varphi / 2}{1}, $$ $$\Gamma =\sin ^{2} \frac{\varphi}{2}. \tag{3}$$

Численные примеры

$\Gamma=1 \rightarrow I_{2}=0 \rightarrow \varphi=\pi, 3 \pi, \ldots$ изображение объекта – темное на ярком фоне. $$\Gamma=0.25 \rightarrow I_{2}=0.75 I_{0} \rightarrow \varphi=\frac{\pi}{3}, \frac{5 \pi}{3}, \ldots$$ $\Gamma=0 \rightarrow I_{2}=I_{0} \rightarrow \varphi=2 \pi, 4 \pi, \ldots$ фон равномерно яркий, объект невидим. Из фотометрического измерения величин $I_{1}$ и $I_{2}$ можно получить $\varphi$.

Примечание

A3  ^?? На какую величину $\Delta y$ необходимо сместить делитель лучей $C$ параллельно самому себе, чтобы увидеть темное поле? Вычислите контрастность и обсудите преимущество этого метода перед предыдущим.

Необходимо, чтобы колебания луча $1$ (перед введением объекта) и луча $2$ были совершенно не в фазе. Если $C$ смещается, то путь луча $1$ не изменяется, а путь луча $2$ увеличивается на $\Delta y$ (Рис. 3). Мы хотим получить $$\Delta \varphi=\frac{2 \pi}{\lambda} \Delta y=\pi \tag{4}$$ откуда $$\Delta y=\frac{\lambda}{2}=0.25~мкм$$ При этих условиях $$ I_{1}=0$$ $$I_{2}=\frac{I_{1}}{2}[1+\cos (\varphi-\pi)]=\frac{I_{0}}{2}[1-\cos \varphi]=I_{0} \sin ^{2} \frac{\varphi}{2}$$ Следовательно, $$\Gamma=\frac{I_{макс}-I_{мин}}{I_{макс}}=\frac{I_{2}-I_{1}}{I_{2}}=\frac{I_{0} \sin ^{2} \varphi / 2-0}{I_{0} \sin ^{2} \varphi / 2}=1$$

B1  ^?? Рассмотрим установку, описанную в A.1. Поверните зеркало $D$ на угол $\alpha=2'$ вокруг оси, перпендикулярной плоскости рисунка. Опишите систему полос и рассчитайте интервал между ними.

Интерферометр с полосами в качестве изображения

Если зеркало $D$ повернуть на угол $\alpha$, то волновая поверхность $\Sigma_{2}$ поворачивается на угол $2 \alpha$. Будут видны вертикальные прямые полосы, перпендикулярные плоскости рисунка. Полоса нулевого порядка находится на оси $Cx$. Система полос с яркими центральными линиями имеет интервал
$$i=\frac{\lambda}{2 \alpha}=\frac{0.5 \cdot 10^{-3}}{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 10^{-4}}=0.42~мм$$

B2  ^?? Каков вид поля в белом свете?

Наблюдение в белом свете

B3  ^?? Вновь введите пленку $L$. Покажите, что смещение центральной полосы дает достаточную информацию для оценки фазового сдвига, вносимого пленкой. Рассчитайте смещение для значений $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$, упоминаемых в A.2. Примите в качестве единицы длины интервал между полосами $i$, соответствующий длине волны $\lambda=0.5~мкм.$

Опорная волна $\Sigma_{2}$ не возмущена, волна $\Sigma_{1}$ имеет сдвиг (Рис. 4a). В изображении пленки $L$ белая полоса смещена от $1$ до $2$ (Рис. 4б). Это смещение можно измерить окулярным микрометром.

Численный пример

B4  ^?? Увеличьте источник $S$ и найдите плоскость, в которой локализуются полосы.

Локализация

В случае протяженного источника $S$ полосы становятся локализованными.

Теорема. Поверхность локализации определяется точками пересечения двух лучей, образующихся из одного падающего пучка.