Найдите длину нерастянутой пружины $l_{0}$, а также значение деформаций $\Delta l_{1}$ в первом и $\Delta l_{2}$ во втором случаях. Считайте, что пружина в условиях опыта подчиняется закону Гука.

Если жёсткость всей пружины длиной $l$ равна $k$, то период продольных колебаний грузика можно найти по формуле
$$
T_{\|}^{2}=4 \pi^{2} \frac{m}{4 k},
$$
где $m$ - масса грузика. Уравнение движения грузика в поперечном направлении имеет вид
$$
m \ddot{\varphi} \frac{l}{2}=2 F_{yпр} \varphi=-2 k \Delta l \varphi \quad \Longleftrightarrow \ddot{\varphi}+\frac{4 k \Delta l}{m l} \varphi=0.
$$
Мы получили уравнение гармонических колебаний с циклической частотой $\omega_{\perp}^{2}=(4 k \Delta l) /(m l)$, их период:
$$
T_{\perp}^{2}=4 \pi^{2} \frac{m l}{4 k \Delta l}=4 \pi^{2} \frac{m}{4 k}\left(1+\frac{l_{0}}{\Delta l}\right).
$$
Отношение периодов:
$$
\frac{T_{\perp}^{2}}{T_{\|}^{2}}=n^{2}=1+\frac{l_{0}}{\Delta l}, \quad \text { откуда } \quad \frac{\Delta l}{l_{0}}=\frac{1}{n^{2}-1}.
$$
Поскольку $\Delta x=\Delta l_{2}-\Delta l_{1}$ :
$$
\frac{\Delta x}{l_{0}}=\frac{1}{n_{2}^{2}-1}-\frac{1}{n_{1}^{2}-1}=\frac{n_{1}^{2}-n_{2}^{2}}{\left(n_{2}^{2}-1\right)\left(n_{1}^{2}-1\right)},
$$
Откуда
$$
\begin{gathered}
l_{0}=\frac{\left(n_{2}^{2}-1\right)\left(n_{1}^{2}-1\right)}{n_{1}^{2}-n_{2}^{2}} \Delta x=60~см,
\\
\Delta l_{1}=\frac{l_{0}}{n_{1}^{2}-1}=4~см,
\\
\Delta l_{2}=\frac{l_{0}}{n_{2}^{2}-1}=7.5~см.
\end{gathered}
$$