| 1 Поток $\frac{\mathrm dV}{\mathrm dt}=4\pi r^2 \dot r$ | 0.10 |
|
| 2 Сохранение потока | 0.10 |
|
| 3 Ответ $\dot r=\frac{R^2}{r^2}\dot R$ | 0.10 |
|
| 1 Кинетическая энергия жидкости $E_\mathrm k=\frac{\rho}{2}\displaystyle\int\dot r^2\,\mathrm dV$ | 0.20 |
|
| 2 Элемент объёма $\mathrm dV=4\pi r^2\,\mathrm dr$ | 0.10 |
|
| 3 Ответ $E_\mathrm k=2\pi \rho R^3\dot R^2$ | 0.30 |
|
| 1 Работа газа внутри пузырька над жидкостью $\mathrm dW_\mathrm{in}=P\,\mathrm dV$ | 0.15 |
|
| 2 Работа жидкости по расширению на большом расстоянии от пузырька $\mathrm dW_\mathrm{out}=P_0\,\mathrm dV$ | 0.15 |
|
| 3 Ответ $\mathrm dW=(P_0-P)\cdot4\pi R^2\,\mathrm d R$ | 0.20 |
|
| 4 Неверный знак | -0.15 |
|
| 1 Из закона сохранения энергии $\mathrm dW+\mathrm d E_\mathrm k=0$ | 0.20 |
|
| 2 Получено уравнение Бернулли в виде $\frac\rho2\,\mathrm d\left[ R^3\dot R^2\right]=(P-P_0)R^2\,\mathrm d R$ | 0.20 |
|
| 3 Ответы $m=3$, $n=2$ | 2 × 0.10 |
|
| 1 Начальное давление $P_\mathrm i R_\mathrm i^3=P_0R_0^3$ | 0.10 |
|
| 2 Уравнение адиабаты $P R^{3\gamma}=P R^5=\operatorname{const}$ | 0.20 |
|
| 3 Ответ $P=P_\mathrm i\left(\frac{R_0}{R_\mathrm i}\right)^3\left(\frac{R_\mathrm i}{R}\right)^5$ | 0.25 |
|
| 4 Ответ $T=T_0\left(\frac{R_\mathrm i}{R}\right)^2$ | 0.25 |
|
| 1 Подстановка зависимости давления от радиуса в уравнение Бернулли $\frac{1}{2R^2}\frac{\mathrm d}{\mathrm dR}\left[R^3\dot R^2\right]=\frac{P_0}{\rho_0}\left[\frac{P_\mathrm i}{P_0}\left(\frac{R_\mathrm i}{R}\right)^{5}-1\right]$ | 0.15 |
|
| 2 Идея проинтегрировать по $R$ (или $\beta$); записан интеграл | 0.10 |
|
| 3 Правильный результат интегрирования $\frac{1}{2}\rho_0\dot\beta^2=-\frac{P_0}{3R_\mathrm{i}^2\beta^5}\left[Q(1-\beta^2)-\beta^2(1-\beta^3)\right]$ | 0.35 |
|
| 4 Ответ $\mu=\frac{P_0}{3R_\mathrm i^2}$ | 0.20 |
|
| 1 Нулевая скорость границы пузыря соответствует $U(\beta)=0$ | 0.10 |
|
| 2 Явно указана малость $\beta_\mathrm m$ | 0.10 |
|
| 3 Получена формула $\beta_\mathrm m\approx\sqrt{Q}$ | 0.20 |
|
| 4 Ответ $C_\mathrm m=1$ | 0.10 |
|
| 1 Вычисление $Q=0.00437$ | 0.20 |
|
| 2 Вычисление $\beta_\mathrm m=\sqrt{Q}=0.0661$ | 0.10 |
|
| 3 Численный ответ $R_\mathrm m=2.31~мкм$ | 0.10 |
|
| 1 Формула $T_\mathrm m=\left(\frac{1}{\beta_\mathrm m}\right)^2T_0$ | 0.20 |
|
| 2 Численный ответ $T_\mathrm m=6.86\cdot10^4~К$ | 0.20 |
|
| 1 Максимум скорости – экстремум функции $U(\beta)$ | 0.10 |
|
| 2 Взята производная $\frac{\mathrm dU}{\mathrm d\beta}=-\frac{P_0}{3R_\mathrm i^2\beta_\mathrm u}\left[Q\left(\frac{5}{\beta_\mathrm u^5}-\frac{3}{\beta_\mathrm u^3}\right)-\frac{3}{\beta_\mathrm u^3}\right]$ | 0.30 |
|
| 3 Формула $\beta_\mathrm u=\sqrt{5Q/3}$ или аналогичная ей | 0.30 |
|
| 4 Численный ответ $\beta_\mathrm u=0.0852$ | 0.10 |
|
| 1 Найдена $\bar\beta=0.0757$ | 0.10 |
|
| 2 Найдено выражение для $\bar u=\sqrt{\frac{2P_0}{4\rho_0R_\mathrm i^2\bar\beta^3}\left[1-\frac{Q}{\bar\beta^2}\right]}$ или аналогичное ему | 0.30 |
|
| 3 Ответ $\bar u=5.52\cdot10^6$ | 0.10 |
|
| 1 Время можно оценить как $\Delta t_\mathrm m=\frac{\beta_\mathrm u-\beta_\mathrm m}{\bar u}$ | 0.40 |
|
| 2 Численный ответ $\Delta t_\mathrm m=3.45\cdot10^{-9}~с$ | 0.40 |
|