Из сохранения потока для жидкости имеем:\[\frac{\mathrm dV}{\mathrm dt}=4\pi R^2\dot R=4\pi r^2 \dot r\implies\]

Кинетическая энергия жидкости:\[E_\mathrm k=\frac\rho2\int\limits_R^{+\infty}\left(\frac{R^2}{r^2}\dot R\right)^2\,4\pi r^2\,\mathrm dr=\frac\rho2\cdot4\pi R^4\dot R^2\int\limits_R^{+\infty}\frac{\mathrm dr}{r^2}=2\pi
\rho R^3\dot R^2.\]

Жидкость совершает работу:\[\mathrm dW=P_0\,\mathrm dV-P\,\mathrm dV=(P_0-P)\cdot4\pi R^2\,\mathrm d R\]

Поскольку работа, совершаемая жидкостью, и изменение её кинетической энергии связаны соотношением:\[\mathrm dW+\mathrm d E_\mathrm k=0,\]получим уравнение Бернулли в виде:\[2\pi \rho\,\mathrm d\left[ R^3\dot R^2\right]=4\pi(P-P_0)R^2\,\mathrm d R,\\\frac\rho2\,\mathrm d\left[ R^3\dot R^2\right]=(P-P_0)R^2\,\mathrm d R\]

Поскольку количество вещества внутри пузыря не меняется:\[P R^3=P_0R_0^3.\]Поскольку с воздухом в пузырьке происходит квазистатический адиабатический процесс, то зависимость давления от объёма:\[P(R)=P_\mathrm i\left(\frac{R_\mathrm{i}^3}{R^3}\right)^\gamma=P_\mathrm i\left(\frac{R_\mathrm i}{R}\right)^5=P_\mathrm i\left(\frac{R_0}{R_\mathrm i}\right)^3\left(\frac{R_\mathrm i}{R}\right)^5.\]

Тогда температура зависит от радиуса как:\[T(R)=T_0\left(\frac{R_\mathrm{i}^3}{R^3}\right)^{\gamma-1}=T_0\left(\frac{R_\mathrm i}{R}\right)^2.\]

Подставляя полученные в предыдущем пункте зависимости в уравнение Бернулли, получим:\[\frac{1}{2R^2}\frac{\mathrm d}{\mathrm dR}\left[R^3\dot R^2\right]=\frac{P-P_0}{\rho_0}=\frac{P_0}{\rho_0}\left[\frac{P_\mathrm i}{P_0}\left(\frac{R_\mathrm i}{R}\right)^{3\gamma}-1\right].\]Это выражение можно переписать через $\beta$:\[\frac{1}{2\beta^2}\frac{\mathrm d}{\mathrm d\beta}\left[\beta^3\dot\beta^2\right]=\frac{P_0}{\rho_0R_\mathrm i^2}\left(\frac{P_\mathrm i}{P_0}\beta^{-5}-1\right).\]Проинтегрируем это выражение от $1$ до $\beta$:\[\begin{aligned}\frac{1}{2}\beta^3\dot\beta^2&=\frac{P_0}{\rho_0}\int\limits_1^\beta\left(\frac{P_\mathrm i}{P_0}\xi^{-3}-\xi^2\right)\,\mathrm d\xi=\\&=\frac{P_0}{\rho_0}\left[\left(\frac{P_\mathrm i}{P_0}\right)\frac{1-\beta^{-2}}{2}-\frac{\beta^3-1}{3}\right]=\\&=\frac{P_0}{6\rho_0\beta^2}\left[3\left(\frac{P_\mathrm i}{P_0}\right)\left({\beta^2-1}\right)-2\beta^2\left(\beta^3-1\right)\right].\end{aligned}\]Отсюда:\[\frac{1}{2}\rho_0\dot\beta^2=-U(\beta)=-\frac{P_0}{3R_\mathrm{i}^2\beta^5}\left[Q(1-\beta^2)-\beta^2(1-\beta^3)\right]=-\frac{P_0(1-\beta^2)}{3R_\mathrm{i}^2\beta^5}\left[Q-\beta^2\frac{1-\beta^3}{1-\beta^2}\right].\]Таким образом,

Радиус пузырька минимален, когда:\[\dot R=R_\mathrm i\dot\beta=0.\]Из уравнения предыдущего пункта получим:\[Q=\frac{\beta_\mathrm{m}^2}{1-\beta_\mathrm{m}^2}(1-\beta_\mathrm{m}^3)=\beta_\mathrm{m}^2\left(1+\frac{\beta_\mathrm{m}^2}{1+\beta_\mathrm{m}}\right).\]Чтобы выполнялось неравенство $Q\ll1$, $\beta_\mathrm{m}$ тоже должна быть малой величиной. При этом:\[Q\approx\beta_\mathrm{m}^2\implies \beta_\mathrm{m}\approx\sqrt Q,\]т.е.

Найдём $Q$:\[Q=\frac{P_\mathrm i}{P_0(\gamma-1)}=\frac{1}{\gamma-1}\left(\frac{R_0}{R_\mathrm i}\right)^3=\frac{3}{2}\left(\frac{1}{7}\right)^3=0.00437.\]Тогда:\[\beta_\mathrm m=\sqrt Q=0.0661\implies R_\mathrm m=\beta_\mathrm mR_\mathrm i=\sqrt{Q} R_\mathrm i=2.31~мкм.\]

\[T_\mathrm m=\left(\frac{1}{\beta_\mathrm m}\right)^2T_0=6.86\cdot10^4~К\]

Максимум радиальной скорости соответствует максимуму функции $-U(\beta)$. Выражение для функции $U(\beta)$:\[U(\beta)=\frac{P_0}{3R_\mathrm i^2}\left[Q\left(\frac{1}{\beta^5}-\frac{1}{\beta^3}\right)-\left(\frac{1}{\beta^3}-1\right)\right].\]Условие экстремума:\[\left.\frac{\mathrm dU}{\mathrm d\beta}\right|_{\beta=\beta_\mathrm u}=-\frac{P_0}{3R_\mathrm i^2\beta_\mathrm u}\left[Q\left(\frac{5}{\beta_\mathrm u^5}-\frac{3}{\beta_\mathrm u^3}\right)-\frac{3}{\beta_\mathrm u^3}\right]=0.\]Отсюда:\[Q=\frac{3\beta_\mathrm u^2}{5-3\beta_\mathrm u^2}\implies \beta_\mathrm u^2=\frac{5}{3}\frac{Q}{1+Q}\approx\frac{5}{3}Q\implies\]

Найдём $\bar\beta$:\[\bar\beta\equiv\frac12(\beta_\mathrm m+\beta_\mathrm u)=0.0757.\]Этому соответствует скорость:\[\bar u=-\dot\beta(\bar \beta)=\sqrt{-\frac{2}{\rho_0}U(\bar\beta)}=\sqrt{\frac{2P_0\left(1-\bar\beta^2\right)}{4\rho_0R_\mathrm i^2\bar\beta^3}\left[1-\frac{Q}{\bar\beta^2}+\frac{\bar\beta^2}{1+\bar\beta}\right]}=5.52\cdot10^6.\]

$\Delta t_\mathrm m$ можно оценить как:\[\Delta t_\mathrm m=\frac{\beta_\mathrm u-\beta_\mathrm m}{\bar u}=3.45\cdot10^{-9}~с\]