Солнце – это звезда, у которой мы живем. Его основным компонентом является водород, который нагревается, сжимаясь под действием собственных гравитационных сил. Когда его температура достигает определенного уровня, нейтральные атомы ионизируются и превращаются в плазму, состоящую из протонов и электронов. В центральной области температура, достигающая $1.5\cdot10^7~\text{К}$, и плотность более $1.6 \cdot10 ^ 5~\text{кг}/\text{м}^3$ вызывают термоядерный синтез и выделение огромной энергии, тем самым противодействуя собственному гравитационному сжатию, чтобы прийти в равновесие и стать звездой.

Основные термоядерные реакции, происходящие внутри Солнца:\[\begin{gathered}{^1}\mathrm H+{^1}\mathrm H \to \mathrm D+e^++\nu_e\\\mathrm D+{^1}\mathrm H \to {^3}\mathrm {He}+x\\{^3}\mathrm {He} + {^3}\mathrm {He} \to {^4}\mathrm {He}+{^1}\mathrm H+{^1}\mathrm H\end{gathered}\]Так как первая реакция определяется слабым взаимодействием, то её вероятность очень мала, что приводит к медленному выделению энергии. Продукт реакции позитрон $e^+$ аннигилирует с электроном $e^-$ с выделением гамма-лучей, а именно: $$e^+ + e^- \to \gamma + \gamma$$Численные значения: массы протона $^1\mathrm H$, дейтерия $\mathrm D$, гелия-3 $^3\mathrm{He}$ и электрона $e^-$ равны соответственно $938.27$, $1875.61$, $2808.38$, $3727.36$ и $0.51~\text{МэВ}/{c}^2$ (погрешность $0.01~\text{МэВ} ]/{c}^2$), $c$ – скорость света в вакууме, масса нейтрино $\nu_e$ меньше $3~\text{эВ}/{c}^2$. Постоянная Планка $h = 6.626\cdot10^ {-34}~\text{Дж}\cdot\text{с}$, $c = 3.0\cdot10^ 8~\text{м}/\text{с}$, постоянная Больцмана $k = 1.381\cdot10^ {-23}~\text{Дж}/\text{К}$, элементарный заряд $e = 1.602\cdot10^ {-19}~\text{Кл}$.

A1  ^3.00 Используя модель идеального газа, оцените среднюю кинетическую энергию различных частиц в тепловом равновесии и давление в центральной области Солнца (в качестве единиц измерения используйте $\text{эВ}$ и $\text{атм}$ соответственно).

A2  ^7.00 Какая из частиц ($\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $p$, $n$) обозначена как $x$ формулах реакций? Вычислите кинетическую энергию и импульс этой частицы. Можно ли найти систему отсчета, в которой кинетическая энергия частицы $x$ равна нулю?

A3  ^3.00 Укажите диапазон кинетической энергии каждого из продуктов первой реакции.

Как известно, фотон, зародившийся в глубине Солнца, очень долго случайно блуждает внутри него, перед тем как выйти наружу. Разные оценки приводят характерную цифру в $T\sim 4\cdot 10^4~лет$. Радиус Солнца равен $R\sim7\cdot10^5~км$.

A4 Если длина свободного пробега фотона внутри Солнца равна $\lambda$, за какое характерное число столкновений $N$ он достигнет поверхности Солнца? Какое это займёт время? Оцените отсюда длину свободного пробега $\lambda$ и число столкновений $N$.

Фотон в момент рождения имеет энергию, равную энергии покоя электрона, однако с поверхности Солнца излучаются преимущественно фотоны видимо света. Это происходит из-за комптоновского рассеяния. Рассмотрим фотон, рассеивающийся на покоящемся электроне. Пусть энергия фотона равна $E$, энергия электрона – $E_0$, а их отношение – $\varepsilon=E/E_0$. В системе отсчёта центра масс вероятность рассеяния фотона в единичный телесный угол под углом $\theta$ пропорциональна $1+\cos^2\theta$.

A5 Найдите среднюю энергию рассеянного фотона в лабораторной системе отсчёта.

A6  ^7.00 Поскольку при $\varepsilon\ll 1$ эта энергия очень мало отличается от исходной, можно в первом порядке записать дифференциальное уравнение для зависимости средней энергии фотона от количества соударений. Оцените количество соударений, необходимое для перехода исходного фотона в состояние с длиной волны $\lambda\sim500~нм$. Почему этот ответ отличается от результата C4?