A1  ^3.00 Используя модель идеального газа, оцените среднюю кинетическую энергию различных частиц в тепловом равновесии и давление в центральной области Солнца (в качестве единиц измерения используйте $\text{эВ}$ и $\text{атм}$ соответственно).

Плотность газа имеет порядок $\rho\sim M/R^3$, ускорение свободного падения – $g\sim GM/R^2$, а тогда\[\dfrac{P}{R}\sim-\dfrac{\mathrm dP}{\mathrm dr}=\rho g\sim\dfrac{GM^2}{R^5}\implies P\sim \dfrac{GM^2}{R^4}\]Кинетическую энергию оценим как $kT$, то есть\[\bar K\sim kT=\dfrac{P}{n}\sim\dfrac{m PR^3}{M}\sim \dfrac{GMm}{R}\]Тот же результат получается, если воспользоваться теоремой о вириале:\[\bar K\sim \bar U\sim \dfrac{GMm}{R}\]

A2  ^7.00 Какая из частиц ($\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $p$, $n$) обозначена как $x$ формулах реакций? Вычислите кинетическую энергию и импульс этой частицы. Можно ли найти систему отсчета, в которой кинетическая энергия частицы $x$ равна нулю?

A3  ^3.00 Укажите диапазон кинетической энергии каждого из продуктов первой реакции.

A4  ^?? Если длина свободного пробега фотона внутри Солнца равна $\lambda$, за какое характерное число столкновений $N$ он достигнет поверхности Солнца? Какое это займёт время? Оцените отсюда длину свободного пробега $\lambda$ и число столкновений $N$.

Пусть в результате $n$ соударений тело переместилось в точку $\vec r$. Тогда после $n+1$-го соударения оно переместится в точку $\vec r+\vec \ell\lambda$, где $\vec \ell$ – случайный единичный вектор. Тогда для среднеквадратического отклонения от центра Солнца:\[\left\langle\left(\vec r+\vec \ell\lambda\right)^2\right\rangle=r^2+\lambda^2+2\left\langle\left(\vec r,\vec\ell\right)\right\rangle=r^2+\lambda^2.\]Отсюда видно, что после $n$ столкновений:\[\left\langle r^2\right\rangle=n\lambda^2.\]Частица достигнет поверхности Солнца, когда:\[R^2=N\lambda^2,\]что произойдёт за время:\[T=N\lambda/c.\]Длина свободного пробега фотонов:\[\lambda=\dfrac{N\lambda^2}{N\lambda}=\dfrac{R^2}{Tc}\approx1.3~мм\]Число соударений:\[N=\dfrac{(N\lambda)^2}{N\lambda^2}=\left(\dfrac{Tc}{R}\right)^2\approx2.9\cdot10^{23}\]

A5  ^?? Найдите среднюю энергию рассеянного фотона в лабораторной системе отсчёта.

В системе отсчёта центра масс, которая движется со скоростью $\beta=\dfrac{p}{E}=\dfrac{\varepsilon}{1+\varepsilon}$, энергии фотона и электрона после столкновения не изменятся. Энергия фотона в СОЦМ:\[\varepsilon'=\gamma(\varepsilon-\beta p)=\gamma(1-\beta)\varepsilon\]В результате рассеяния фотон отклоняется в СОЦМ на угол $\theta$, и его энергия в лабораторной СО будет равна:\[\varepsilon_\mathrm{new}=\gamma(\varepsilon'+\beta p_\|)=\gamma(1+\beta \cos\theta)\varepsilon'=\dfrac{1+\beta\cos\theta}{1+\beta}\varepsilon.\]Усредним энергию по телесному углу в СОЦМ:\[\bar\varepsilon_\mathrm{new}=\dfrac{\iint\left(1+\cos^2\theta\right) \varepsilon_\mathrm{new}\,\mathrm d\Omega'}{\iint\left(1+\cos^2\theta\right)\, \mathrm d\Omega'}=\dfrac{\varepsilon}{1+\beta}\dfrac{\int_{-1}^1 \left(1+\cos^2\theta\right)(1+\beta\cos\theta)\,\mathrm d\left(\cos\theta\right)}{\int_{-1}^1 \left(1+\cos^2\theta\right)\,\mathrm d\left(\cos\theta\right)}=\dfrac{\varepsilon}{1+\beta}=\dfrac{1+\varepsilon}{1+2\varepsilon}\varepsilon\]

A6  ^7.00 Поскольку при $\varepsilon\ll 1$ эта энергия очень мало отличается от исходной, можно в первом порядке записать дифференциальное уравнение для зависимости средней энергии фотона от количества соударений. Оцените количество соударений, необходимое для перехода исходного фотона в состояние с длиной волны $\lambda\sim500~нм$. Почему этот ответ отличается от результата C4?

Энергия после каждого рассеяния в среднем уменьшается на величину:\[\mathrm d\varepsilon=\varepsilon-\dfrac{1+\varepsilon}{1+2\varepsilon}\varepsilon\approx \varepsilon^2.\]Слагаемые высшего порядка по $\varepsilon$ отброшены, поскольку при значениях $\varepsilon\sim1$ перейти к непрерывному случаю нельзя, и число рассеяний в этом пределе мало по сравнению с общим. Тогда:\[-\dfrac{\mathrm d\varepsilon}{\varepsilon^2}=\mathrm dN\implies N\approx\dfrac{1}{\varepsilon}-1\approx \dfrac{1}{\varepsilon}=\dfrac{m_e\lambda c}{h}=2.06\cdot10^5.\]