Тяжелая однородная верёвка длиной $L$ подвешена вертикально к потолку. Она может колебаться около положения равновесия с различными собственными частотами, которые мы обозначим как $f_i~(i = 1,2,\dots)$ в порядке возрастания. На рисунке внизу изображены формы верёвки для трёх первых частот, полученные с помощью компьютерного моделирования. Обратите внимание на то, что масштабы по вертикали и горизонтали не равны. Считайте, что поперечное смещение верёвки гораздо меньше её длины (приближение малых амплитуд).

Часть A. Оригинал

A1 Предложите простую модель, которая позволит вам оценить частоту $f_1$ первого (основного) типа колебаний верёвки. Вычислите приближённо $f_1$ для верёвки длиной $L=1.0~м$. Считайте, что $g = 9.8~м/с^2$.

A2 По рисунку выше оцените отношения частот $f_1:f_2:f_3$.

Часть B. Честные решения

B1 Запишите волновое уравнение для такой верёвки. Какие граничные условия должны выполняться для его решения?

B2 Найдите частоты колебаний первых $n=5$ мод, приняв длину верёвки за единицу. Как можно аппроксимировать результат при больших $n$?