A1  ^?? Предложите простую модель, которая позволит вам оценить частоту $f_1$ первого (основного) типа колебаний верёвки. Вычислите приближённо $f_1$ для верёвки длиной $L=1.0~м$. Считайте, что $g = 9.8~м/с^2$.

A2  ^?? По рисунку выше оцените отношения частот $f_1:f_2:f_3$.

B1  ^?? Запишите волновое уравнение для такой верёвки. Какие граничные условия должны выполняться для его решения?

Будем отсчитывать координату $x$ вдоль верёвки от её низа, а горизонтальное смещение обозначим $u$. Обозначим линейную плотность верёвки $\rho$. Тогда в первом порядке сила натяжения верёвки будет равна $\rho g x$, а её горизонтальная проекция – $\rho gx\dfrac{\partial u}{\partial x}$. Сила, действующая на элемент верёвки длиной $\mathrm dx$, равна $\left.\rho gx\dfrac{\partial u}{\partial x}\right|_{x+\mathrm dx}-\left.\rho gx\dfrac{\partial u}{\partial x}\right|_{x}=\rho g\dfrac{\partial}{\partial x}\left(x\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)\mathrm dx$. Ускорение этого элемента верёвки $\rho \,\mathrm dx\dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}=-\rho \omega^2 u\,\mathrm dx$, что приводит к волновому уравнению:\[\dfrac{\partial}{\partial x}\left(x\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)+\dfrac{\omega^2}{g}u=0.\]Попробуем искать решение этого уравнения в виде бесконечного ряда:\[u(x)=\sum_{n=0}^\infty c_nx^n.\]Тогда:\[\dfrac{\partial}{\partial x}\left(x\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)=\dfrac{\partial}{\partial x}\left(x\sum_{n=1}^\infty nc_nx^{n-1}\right)=\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\sum_{n=1}^\infty nc_nx^{n}\right)=\sum_{n=1}^\infty n^2c_nx^{n-1}.\]Подставляя в исходное уравнение, получаем рекурренту:\[c_n=-\dfrac{1}{n^2}\dfrac{\omega^2}{g}c_{n-1}\implies c_n=\dfrac{(-1)^n}{\left(n!\right)^2}\left(\dfrac{\omega^2}{g}\right)^nc_0.\]Несложно заметить, что это совпадает с рядом для функции Бесселя $J_0$, действительно:\[J_0(z)\propto \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n\cdot (z/2)^{2n}}{n!\cdot n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n\cdot (\omega^2x/g)^{n}}{\left(n!\right)^2}\implies\]

B2  ^?? Найдите частоты колебаний первых $n=5$ мод, приняв длину верёвки за единицу. Как можно аппроксимировать результат при больших $n$?

Воспользуемся тем фактов, что первые пять нетривиальных нулей уравнения $J_0(z)=0$ равны (Table[BesselJZero[0, i], {i, 1, 5}] // N):\[z_i=2.40483, 5.52008, 8.65373, 11.7915, 14.9309.\]Граничное условие при $x=l=1~м$ -- $u(l)=0$. Тогда для частоты колебаний получим выражение:\[\nu_i=\dfrac{\sqrt{9.8}}{2\cdot2\pi}z_i\implies\]

Чтобы получить аппроксимацию при больших $n$, необходимо вспомнить, что $n$-тый ноль функции Бесселя $J_0(z)$ при очень больших аргументах примерно равен:\[z_n\approx \pi \left(n-\dfrac{1}{4}\right).\]Из-за этого частота будет равна:

Форма верёвки при этом будет описываться формулой: