Logo
Logo

Пружина, брусок и доска

Разбалловка

A1  0.80 Найдите максимальную деформацию пружины $\Delta{L}_1$ и время $t_1$, через которое она достигается.

A1. 1 $$\Delta L_1 = \cfrac{2F}{k}$$ 0.50
A1. 2 $$t_1=\pi \sqrt{\cfrac{m}{k}}$$ 0.30
A2  0.80 Найдите максимальную скорость бруска ${v_{max}}_1$ и время $t_2$, через которое она достигается.

A2. 1 $$v_{max1}=\cfrac{F}{\sqrt{km}}$$ 0.50
A2. 2 $$t_2=\cfrac{\pi}{2} \sqrt{\cfrac{m}{k}}$$ 0.30
A3  0.40 Найдите максимальное ускорение бруска ${a_{max}}_1$ и минимальное время $t_3$, через которое оно достигается.

A3. 1 $$a_{max1}=\cfrac{F}{m}$$ 0.20
A3. 2 $$t_3=0$$ 0.20
B1  3.00 Найдите максимальную деформацию пружины $\Delta{L}_2$ и время $t_4$, через которое она достигается.

B1. 1 Получено, что при $F > \mu (m+M) g$ движение с постоянным проскальзыванием. 0.30
B1. 2 $$\Delta L_2 = \cfrac{2\mu mg}{k}$$ 0.10
B1. 3 $$t_4=\pi \sqrt{\cfrac{m}{k}}$$ 0.10
B1. 4 Получено, что при $F < \mu mg \cfrac{m+M}{m+2M}$ движение без проскальзывания. 0.30
B1. 5 $$\Delta L_2 = \cfrac{2F}{k}$$ 0.10
B1. 6 $$t_4=\pi \sqrt{\cfrac{m+M}{k}}$$ 0.10
B1. 7 Указано, что при $ \mu mg \cfrac{m+M}{m+2M} < F < \mu (m+M) g$ движение начинается без проскальзывания, а потом брусок начинает скользить относительно палки 0.20
B1. 8 Найдена точка начала проскальзывания $$x_\textit{ск}=\cfrac{\mu m g}{k}\left( 1 + \cfrac{m}{M} \right) - \cfrac{F m}{k M} $$ 0.10
B1. 9 Закон сохранения энергии от начального положения до точки начала проскальзывания
$$ \cfrac{F^2}{2k}= \cfrac{(m+M) v_\textit{ск}^2}{2}+\cfrac{k}{2} \left( \cfrac{F}{k} - x_\textit{ск} \right) ^2$$
0.30
B1. 10 Закон сохранения энергии от точки начала проскальзывания до точки максимального удаления $$ \cfrac{kA^2}{2}= \cfrac{k}{2} \left( \cfrac{\mu m g}{k} - x_\textit{ск} \right) ^2+\cfrac{m v_\textit{ск}^2}{2}$$ 0.30
B1. 11 $$ A = \sqrt{\left( \cfrac{\mu m g}{k} - \cfrac{F}{k} \right) ^2 \left( \cfrac{m}{M} \right)^2+\cfrac{m v_\textit{ск}^2}{k}} $$
$$v_\textit{ск}^2= \cfrac{k}{M+m} \left( \cfrac{F}{k} \left( 2 + \cfrac{m}{M} \right) - \cfrac{\mu m g}{k} \left( 1 + \cfrac{m}{M} \right) \right) \left( - \cfrac{F}{k} \cfrac{m}{M} + \cfrac{\mu m g}{k} \left( 1 + \cfrac{m}{M} \right) \right)$$
0.30
B1. 12 $$\Delta L_2= \cfrac{ \mu m g }{k} +A$$ 0.30
B1. 13 $$ t_4 = \sqrt{ \cfrac{m+M}{k}} \arccos\left(1-\cfrac{k x_\textit{ск}}{F}\right) +\sqrt{ \cfrac{m}{k}} \left( \arcsin\left(\cfrac{ \cfrac{ \mu m g }{k} - x_\textit{ск}}{A}\right) + \cfrac{\pi}{2}\right)$$ 0.50
B2  2.50 Найдите максимальную скорость бруска ${v_{max}}_2$ и время $t_5$, через которое она достигается.

$$ \mu mg \cfrac{m+M}{m+2M} < F < \mu (m+M) g$$
B2. 2 $$u_1=\sqrt{\cfrac{k}{m}} A$$ 0.20
B2. 3 $$u_2=\sqrt{\cfrac{k}{m+M}} \cfrac{F}{k}$$ 0.20
B2. 4 Проведен анализ и получено, что $v_{max2}=u_2$ при $\mu mg \cfrac{m+M}{m+2M} < F < \mu mg $ 0.30
B2. 5 Проведен анализ и получено, что $v_{max2}=u_{1}$ при $ \mu m g < F <\mu (m+M)g $ 0.30
B2. 6 $$t_5^{(1)} = \sqrt{ \cfrac{m+M}{k}} \arccos\left(1-\cfrac{k x_\textit{ск}}{F}\right) +\sqrt{ \cfrac{m}{k}} \arcsin \left(\cfrac{ \cfrac{ \mu m g }{k} - x_\textit{ск}}{A}\right) $$ 0.50
B2. 7 $$ t_5^{(2)} = \cfrac{\pi}{2}\sqrt{ \cfrac{m+M}{k}} $$ 0.20
$$ \mu (m+M) g < F $$
B2. 9 $$v_{max2}=\mu g \sqrt {\cfrac{m}{k}}$$ 0.20
B2. 10 $$t_5=\cfrac{\pi}{2} \sqrt{\cfrac{m}{k}}$$ 0.20
$$ F < \mu mg \cfrac{m+M}{m+2M} $$
B2. 12 $$v_{max2}= \cfrac{F}{\sqrt{k(M+m)}}$$ 0.20
B2. 13 $$t_5=\cfrac{\pi}{2} \sqrt{\cfrac{m+M}{k}}$$ 0.20
B3  1.50 Найдите максимальное ускорение бруска ${a_{max}}_2$ и минимальное время $t_6$, через которое оно достигается.

$$ \mu (m+M)g < F $$
B3. 2 $$a_{max3} = \mu g $$ 0.20
B3. 3 $$t_6 = 0$$ 0.10
$$ F < \mu mg \cfrac{m+M}{m+2M} $$
B3. 5 $$a_{max} = \cfrac{F}{m+M}$$ 0.20
B3. 6 $$t_6 = 0$$ 0.10
$$\mu mg \cfrac{m+M}{m+2M} < F < \mu (M+m) g$$
B3. 8 $$a_{max2}=a_1, если a_1 > a_2 $$
$$a_1=\cfrac{k}{m} \sqrt{\left( \cfrac{\mu m g}{k} - \cfrac{F}{k} \right) ^2 \left( \cfrac{m}{M} \right)^2+\cfrac{m}{k} \left( \cfrac{k}{M+m} \left( \cfrac{F}{k} \left( 2 + \cfrac{m}{M} \right) - \cfrac{\mu m g}{k} \left( 1 + \cfrac{m}{M} \right) \right) \left( - \cfrac{F}{k} \cfrac{m}{M} + \cfrac{\mu m g}{k} \left( 1 + \cfrac{m}{M} \right) \right)\right)^2} $$
$$a_2= \cfrac{F}{m+M} $$
0.20
B3. 9 $$ t_6 = t_4 = \sqrt{ \cfrac{m+M}{k}} \arccos \left(1-\cfrac{k x_\textit{ск}}{F}\right) +\sqrt{ \cfrac{m}{k}} \left( \arcsin\left(\cfrac{ \cfrac{ \mu m g }{k} - x_\textit{ск}}{A}\right) + \cfrac{\pi}{2}\right)$$ 0.40
B3. 10 $$a_{max2}=a_2, если a_1 < a_2 $$
$$a_1=\cfrac{k}{m} \sqrt{\left( \cfrac{\mu m g}{k} - \cfrac{F}{k} \right) ^2 \left( \cfrac{m}{M} \right)^2+\cfrac{m}{k} \left( \cfrac{k}{M+m} \left( \cfrac{F}{k} \left( 2 + \cfrac{m}{M} \right) - \cfrac{\mu m g}{k} \left( 1 + \cfrac{m}{M} \right) \right) \left( - \cfrac{F}{k} \cfrac{m}{M} + \cfrac{\mu m g}{k} \left( 1 + \cfrac{m}{M} \right) \right)\right)^2} $$
$$a_2= \cfrac{F}{m+M} $$
0.20
B3. 11 $$t_6=0$$ 0.10
C1  1.50 Найдите максимальную деформацию пружины $\Delta{L}_3$ и время $t_7$, через которое она достигается.

C1. 1 Получено, что при $3 \mu g < a$ движение с постоянным проскальзыванием 0.10
C1. 2 $$\Delta L_3 = \cfrac{\mu m g}{ k}$$ 0.10
C1. 3 $$t_7=\pi \sqrt{\cfrac{m}{2k}}$$ 0.10
C1. 4 Указано, что при $a<3\mu g$ движение начинается без проскальзывания, а потом точки цилиндра, касающиеся доски, начинают проскальзывать относительно нее 0.10
C1. 5 Найдена точка начала проскальзывания $$x_\textit{ск}=\cfrac{m}{2k} \left( 3\mu g - a \right) $$ 0.10
C1. 6 Отмечено, что при $$a<\cfrac{3}{2}\mu g$$ проскальзывание не начнется 0.10
C1. 7 $$\Delta L_3=\cfrac{ma}{2k}$$ 0.10
C1. 8 $$t_7=\pi \sqrt{\cfrac{3m}{4k}}$$ 0.10
C1. 9 Закон сохранения энергии от начального положения до точки начала проскальзывания
$$\cfrac{1}{2} \cfrac{4k}{3}\left(\cfrac{ma}{4k}\right)^2= \cfrac{m v_\textit{ск}^2}{2}+\cfrac{1}{2}\cfrac{4k}{3} \left( \cfrac{ma}{4k} - x_\textit{ск} \right) ^2$$
0.10
C1. 10 Закон сохранения энергии от точки начала проскальзывания до точки максимального удаления $$ \cfrac{2kA^2}{2}= \cfrac{2k}{2} \left( \cfrac{\mu m g}{2k} - x_\textit{ск} \right) ^2+\cfrac{m v_\textit{ск}^2}{2}$$ 0.10
C1. 11 $$A=\sqrt{\left( \cfrac{\mu m g}{2 k}-\cfrac{m}{2k} \left( 3\mu g - a \right)\right)^2+\cfrac{m v_\textit{ск}^2}{2k}}$$
$$v_\textit{ск}^2=\cfrac{2m}{3k}\left( 3\mu g - a\right) \left( a - \cfrac{3}{2} \mu g \right)$$, отметим, что из данной записи виден диапазон значений $a$ рассматриваемого случая
0.20
C1. 12 $$\Delta L_3=\cfrac{\mu mg}{2k} + A$$ 0.10
C1. 13 $$ t_7 = \arccos \left(3-\cfrac{6\mu g}{a}\right)\sqrt{\cfrac{3m}{4k}} + \sqrt{\cfrac{m}{2k}}\arcsin\left(\cfrac{m\left(a-2\mu g\right)}{4kA}\right) + \cfrac{\pi}{2}\sqrt{\cfrac{m}{2k}}$$ 0.20
C2  1.00 Найдите максимальную скорость центра цилиндра ${v_{max}}_c$ и время $t_8$, через которое она достигается.

$$ \cfrac{3}{2} \mu g \ < a < 3\mu g$$
C2. 2 $$u_1=\sqrt{\cfrac{2k}{m}} A$$ 0.10
C2. 3 $$u_2=\sqrt{\cfrac{4k}{3m}} \cfrac{ma}{4k}$$ 0.10
C2. 4 Проведен анализ и получено, что $v_{max3}=u_2$ при $ \cfrac{3}{2}\mu g < F < 2\mu g $ 0.10
C2. 5 Проведен анализ и получено, что $v_{max3}=u_{1}$ при $ 2\mu g < F < 3\mu g $ 0.10
C2. 6 $$ t_8^{(1)}= \arccos \left(3-\cfrac{6\mu g}{a}\right)\sqrt{\cfrac{3m}{4k}} + \sqrt{\cfrac{m}{2k}}\arcsin\left(\cfrac{m\left(a-2\mu g\right)}{4kA}\right) $$ 0.10
C2. 7 $$ t_8^{(2)} = \cfrac{\pi}{2}\sqrt{ \cfrac{3m}{4k}} $$ 0.10
$$ 3\mu g< a $$
C2. 9 $$v_{max3}=\mu g \sqrt {\cfrac{m}{k2}}$$ 0.10
C2. 10 $$t_8=\cfrac{\pi}{2} \sqrt{\cfrac{m}{2k}}$$ 0.10
$$ a < \cfrac{3}{2}\mu g $$
C2. 12 $$v_{max3}= \sqrt{\cfrac{m}{12k}}a$$ 0.10
C2. 13 $$t_8=\cfrac{\pi}{2} \sqrt{\cfrac{3m}{4k}}$$ 0.10
C3  0.50 Найдите максимальное ускорение центра цилиндра ${a_{max}}_c$ и минимальное время $t_9$, через которое оно достигается.

$$ 3\mu g < a $$
C3. 2 $$a_{max_c} = \mu g $$ 0.10
C3. 3 $$t_9 = 0$$ 0.10
$$ a < \cfrac{3}{2} \mu g $$
C3. 5 $$a_{max_c} = \cfrac{1}{3} a $$ None
C3. 6 $$t_9 = 0$$ None
$$ \frac{3}{2} \mu g < a < 3 \mu g$$
C3. 8 $$a_{max_c}=a_1, если a_1 > a_2 $$
$$a_1=\cfrac{2k}{m}A $$
$$a_2= \mu g $$
0.10
C3. 9 $$ t_9 = t_7 = \arccos \left(3-\cfrac{6\mu g}{a}\right)\sqrt{\cfrac{3m}{4k}} + \sqrt{\cfrac{m}{2k}}\arcsin\left(\cfrac{m\left(a-2\mu g\right)}{4kA}\right) + \cfrac{\pi}{2}\sqrt{\cfrac{m}{2k}}$$ 0.10
C3. 10 $$a_{max_c}=a_2, если a_1 < a_2 $$
$$a_1=\cfrac{2k}{m}A $$
$$a_2= \mu g $$
0.10
C3. 11 $$t_9=0$$ 0.10