Падение напряжения на резисторе равно $U_R(t)=\mathcal E(t)-(U_l(0,t)+U_r(0,t))$, а ток – $I_R(t)=\dfrac{U_R(t)}{R}=I_l(0,t) + I_r(0,t)=\dfrac{1}{Z}\left(U_r(0,t)-U_l(0,t)\right)$. Отсюда получаем:\[\dfrac{\mathcal E(t)}{R}-\dfrac{U_l(0,t)}{R}-\dfrac{U_r(0,t)}{R}=\dfrac{U_r(0,t)}{Z}-\dfrac{U_l(0,t)}{Z}\implies\]
Любые эквивалентные формы ответа валидны, но выписанная выше наиболее удобна для анализа.
Обозначим для удобства $U_n=U_0\left(1-\left(\dfrac{R-Z}{R+Z}\right)^n\right)$. В начальный момент времени $U_l(0,0)=0$, $U_r(0,0)=U_1/2$. Волна, распространяющаяся вправо, за время $L/v$ добегает до осциллографа и отражается от края двухпроводной линии. Ещё через время $L/v$ бегущая влево волна возвращается к резистору, и тогда $U_l(0,2L/v)=U_1/2\implies U_l(0,2L/v)=U_2/2$. Далее процесс переотражения бегущих волн повторяется, и через время $2nL/v$ напряжение $U_l(x=0)$ достигает $U_n/2$, а напряжение $U_r(x=0)=U_{n+1}/2$. Отсюда приходим к итоговому результату:
Ступенчатая лесенка напряжения появляется на масштабах времени порядка $L/c\sim 10^{-8}\ldots10^{-7}~с$, поэтому её видно только на масштабах порядка $\sim100~нс$. Хотя при большем количестве участков кабеля лесенка становится чётче, количество несмазанных «ступенек» всё ещё невелико, поэтому измерения необходимо проводить при большом числе участков кабеля.
Характерный вид лесенки показан на фотографии ниже:
$m=1$ участок кабеля:
$n$ 1 2 3 4 5 6 7 8 $(2n-1)m$ 1 3 5 7 9 11 13 15 $t_n, ~нс$ 44 95,2 151 205 258 314 365 424 $\Delta t_n,~нс$ 18 17 19 18 18 19 17 20 $U,~мВ$ -479 -470 -460 -451 -442 -433 -424 -415 $\Delta U,~мВ$ 3 3 3 3 3 3 3 3 $u$ -0,479 -0,47 -0,46 -0,451 -0,442 -0,433 -0,424 -0,415 $\Delta u$ 0,003 0,003 0,003 0,003 0,003 0,003 0,003 0,003
$m=2$ участка кабеля:
$n$ 1 2 3 4 5 6 7 8 $(2n-1)m$ 2 6 10 14 18 22 26 30 $t_n, ~нс$ 28 130 238 338 448 548 656 756 $\Delta t_n,~нс$ 35 34 36 33 37 33 36 33 $U,~мВ$ -479 -469 -459 -450 -440 -431 -422 -413 $\Delta U,~мВ$ 3 3 3 3 3 3 3 3 $u$ -0,479 -0,469 -0,459 -0,45 -0,44 -0,431 -0,422 -0,413 $\Delta u$ 0,003 0,003 0,003 0,003 0,003 0,003 0,003 0,003
$m=3$ участка кабеля:
$n$ 1 2 3 4 5 6 7 8 $(2n-1)m$ 3 9 15 21 27 33 39 45 $t_n, ~нс$ 50 210 364 520 680 834 988 1150 $\Delta t_n,~нс$ 52 53 51 52 53 51 51 54 $U,~мВ$ -489 -478 -469 -459 -449 -440 -430 -421 $\Delta U,~мВ$ 4 4 3 3 3 3 3 3 $u$ -0,489 -0,478 -0,469 -0,459 -0,449 -0,44 -0,43 -0,421 $\Delta u$ 0,004 0,004 0,003 0,003 0,003 0,003 0,003 0,003
$m=4$ участка кабеля:
$n$ 1 2 3 4 5 6 7 8 $(2n-1)m$ 4 12 20 28 36 44 52 60 $t_n, ~нс$ 80 284 496 704 906 1120 1320 1530 $\Delta t_n,~нс$ 69 68 71 69 67 71 67 70 $U,~мВ$ -489 -479 -468 -458 -449 -439 -430 -420 $\Delta U,~мВ$ 3 3 4 3 3 3 3 3 $u$ -0,489 -0,479 -0,468 -0,458 -0,449 -0,439 -0,43 -0,42 $\Delta u$ 0,003 0,003 0,004 0,003 0,003 0,003 0,003 0,003
$m=5$ участков кабеля:
$n$ 1 2 3 4 5 6 7 8 $(2n-1)m$ 5 15 25 35 45 55 65 75 $t_n, ~нс$ 104 360 616 876 1120 1390 1660 1900 $\Delta t_n,~нс$ 84 85 85 87 81 90 90 80 $U,~мВ$ -489 -479 -469 -459 -449 -439 -429 -420 $\Delta U,~мВ$ 3 3 3 3 3 3 3 3 $u$ -0,489 -0,479 -0,469 -0,459 -0,449 -0,439 -0,429 -0,42 $\Delta u$ 0,003 0,003 0,003 0,003 0,003 0,003 0,003 0,003
Для $m$ подключенных участков кабеля будем иметь:\[t(n,m)=(2n-1)mL_0/v,\quad L_0=5~м.\]Линеаризация -- $t((2n-1)m)$ с угловым коэффициентом $L_0/v$. Поскольку напряжение на несмазанной части лесенки много меньше напряжения $U_0$, для него можно в первом приближении записать:\[U_n=U_0\left(1-\left(\dfrac{R-Z}{R+Z}\right)^n\right)\approx\dfrac{2nZ}{R}U_0.\]Поэтому удобная линеаризация – $u(n)$, а её угловой коэффициент равен ${2Z}/{R}$.
Угловой коэффициент зависимости $u(n)$ равен $\dfrac{2Z}{R}=9.6\cdot10^{-3}$, погрешность оценим как $\varepsilon_R\sim 2{\Delta u}/(u_{\max}-u_{\min})\approx 9\,\%$, тогда:
Угловой коэффициент зависимости $t(m(2n-1))$ равен $\dfrac{L_0}{v}=25.4~нс$, погрешность оценим как $\varepsilon_v\sim 2{\Delta t}/(t_{\max}-t_{\min})\approx 9\,\%$, тогда:
Самый удобный вариант подключения:
Будем измерять отношение амплитуд сигнала на кабеле (конденсаторе) и всей цепи. Поскольку в такой цепи:\[\left|\dfrac{U_{RC}}{U_{C}}\right|^2=\left|\dfrac{R+\dfrac{1}{i\omega C}}{\dfrac{1}{i\omega C}}\right|^2=1+4\pi^2R^2L_0^2\mathcal C^2\cdot m^2f^2.\]Используем линеаризацию $\left|\dfrac{U_{RC}}{U_{C}}\right|^2\left(m^2f^2\right)$. Входное напряжение всюду равно $U_{RC}=1~В$. Поскольку погрешность значения сопротивления резистора уже достигает $5-10\,\%$, погрешностью осциллографа можем пренебречь.
$m=1$ участок кабеля:
$f,~кГц$ 10 20 30 40 50 60 70 $U_{C}, ~мВ$ 938 810 695 585 504 436 378 $m^2f^2,~10^9~Гц^2$ 0.1 0.4 0.9 1.6 2.5 3.6 4.9 $(1~В/U_C)^2$ 1.14 1.52 2.07 2.92 3.94 5.26 7.00
$m=2$ участка кабеля:
$f,~кГц$ 10 20 30 40 45 50 55 60 $U_{C}, ~мВ$ 821 590 446 344 315 282 260 234 $m^2f^2,~10^9~Гц^2$ 0.4 1.6 3.6 6.4 8.1 10.0 12.1 14.4 $(1~В/U_C)^2$ 1.48 2.87 5.03 8.45 10.08 12.57 14.79 18.26
$m=3$ участка кабеля:
$f,~кГц$ 5 10 15 20 25 30 35 $U_{C}, ~мВ$ 889 723 552 448 368 314 274 $m^2f^2,~10^9~Гц^2$ 0.23 0.90 2.03 3.60 5.63 8.10 11.03 $(1~В/U_C)^2$ 1.27 1.91 3.28 4.98 7.38 10.14 13.32
$m=4$ участка кабеля:
$f,~кГц$ 5 10 13 16 19 22 25 $U_{C}, ~мВ$ 823 600 505 427 368 323 286 $m^2f^2,~10^9~Гц^2$ 0.40 1.60 2.70 4.10 5.78 7.74 10.00 $(1~В/U_C)^2$ 1.48 2.78 3.92 5.48 7.38 9.59 12.23
$m=5$ участков кабеля:
$f,~кГц$ 3 6 8 10 12 14 16 $U_{C}, ~мВ$ 885 711 596 523 448 388 347 $m^2f^2,~10^9~Гц^2$ 0.23 0.9 1.6 2.5 3.6 4.9 6.4 $(1~В/U_C)^2$ 1.28 1.98 2.82 3.66 4.98 6.64 8.31
Угловой коэффициент $4\pi^2R^2L_0^2\mathcal C^2=1.15\cdot10^{-9}~Гц^{-2}$, откуда $\mathcal C=1.04\cdot10^{-10}~Ф/м$. Погрешность оценим как $\sim10\,\%$, тогда:
Поскольку $Z=\sqrt{\dfrac{\mathcal L}{\mathcal C}}$, индуктивность кабеля на единицу длины $\mathcal L=Z^2\mathcal C=2.6\cdot10^{-7}~Гн/м$.
$n$ 1 2 3 4 5 6 7 8 $2n-1$ 1 3 5 7 9 11 13 15 $t_n, ~нс$ 24 134 232 338 436 548 648 750 $\Delta t_n,~нс$ 110 98 106 98 112 100 102 $U,~мВ$ -488 -468 -447 -427 -408 -389 -371 -353 $\Delta U,~мВ$ 20 21 20 19 19 18 18 $u$ -0,488 -0,468 -0,447 -0,427 -0,408 -0,389 -0,371 -0,353 $\Delta u$ 0,02 0,021 0,02 0,019 0,019 0,018 0,018
Угловой коэффициент зависимости $u(n)$ равен $\dfrac{2Z}{R}=1.93\cdot10^{-2}$, погрешность оценим как $\varepsilon_Z\sim 2{\Delta u}/(u_{\max}-u_{\min})\approx 15\,\%$, тогда:
Угловой коэффициент зависимости $t(2n-1)$ равен $\dfrac{L_0}{v}=51.8~нс$, погрешность оценим как $\varepsilon_v\sim 2{\Delta t}/(t_{\max}-t_{\min})\approx 9\,\%$, тогда: