Для начала проведём качественный анализ того, где может располагаться линза и какой она может быть.
Рассеивающая линза. Изображение в рассеивающей линзе всегда мнимое и лежит по ту же сторону от линзы, что и источник, причем расстояние от линзы до изображения меньше расстояния от линзы до источника. Таким образом, условию удовлетворяет рассеивающая линза, которая находится правее $S_{1}$ (см. рисунок ниже).
Собирающая линза. Изображение может быть как мнимым, так и действительным. Мнимое (причём увеличенное) изображение расположено от линзы всегда дальше, чем источник, поэтому линза, дающая мнимое изображение, расположена слева от $S_{0}$ (см. рисунок ниже).
Если линза расположена между источником $S_{0}$ и изображением $S_{1}$, то изображение - действительное. Так как линза имеет два фокуса, то точка $F$ может лежать как справа (см. рисунок), так и слева от линзы (см. рисунок). Таким образом, существуют четыре решения!
Теперь найдём точные координаты оптических центров этих линз и выполним построения. Пусть расстояние от источника света до фокуса равно $d$, до изображения - $L$, а до линзы - $x$. Запишем формулу тонкой линзы:
$$
\frac{1}{|x|} \pm \frac{1}{|L-x|}=\pm \frac{1}{|d-x|},
$$
где знак плюс в левой части соответствует действительному изображению, а минус - мнимому. Знак плюс перед оптической силой линзы соответствует собирающей линзе, а знак минус - рассеивающей.
Данные в задаче точки $S_{0}$, $F$ и $S_{1}$ делят оптическую ось на четыре промежутка, в каждом из которых модули в уравнении выше будут раскрываться с различными знаками.
Найдём все решения уравнения выше. Раскроем знаки на промежутке $S_{0} F$. Как мы заметили выше, здесь может располагаться только собирающая линза, тогда:
$$
\frac{1}{x}+\frac{1}{L-x}=\frac{1}{d-x},
$$
$$
x^{2}-2 L x+L d=0,
$$
следовательно,
$$
L-x=\mp \sqrt{L(L-d)},
$$
причем решение со знаком минус попадает в рассматриваемый нами промежуток.
Решая по аналогии уравнение тонкой линзы на оставшихся трёх промежутках, найдём, что ещё две собирающие линзы находятся в точках $x=\pm \sqrt{L d}$, а в точке $L-x=\sqrt{L(L-d)}$ находится рассеивающая линза.
Все построения в данной задаче сводятся к построению корней из произведений длин отрезков. В курсе геометрии доказывается, что если в прямоугольном треугольнике проекции катетов на гипотенузу равны $a$ и $b$, то длина высоты этого треугольника, опущенной из вершины прямого угла, равна $\sqrt{a b}$. С помощью этого факта построим отрезки длиной $\sqrt{S_{0} S_{1} \cdot F S_{1}}$ и $\sqrt{S_{0} S_{1} \cdot S_{0} F}$ и отложим полученные отрезки от точки $S_{0}$ вправо и от точки $S_{1}$ в обе стороны соответственно.
