Часть A. Отражение от стекла. Формулы Френеля

Монохроматическая плоская волна, амплитуда которой может быть принята равной единице, падает перпендикулярно плоской поверхности, разделяющей две прозрачные среды с показателями преломления $n_{1}$ и $n_{2}$.

A1 Выведите формулы Френеля, определяющие амплитуду проходящего света $t$ и амплитуду отраженного света $r$.

Численный пример: $n_{1}=1$, $n_{2}=1.5$.

A2 Используя закон сохранения энергии, напишите выражение, которое связывает $r$ и $t$.

Часть B. Просветляющие покрытия

Рассмотрим тонкую пленку из прозрачного вещества с показателем преломления $n$ и толщиной $d$, нанесенную на подложку, образованную плоской стеклянной пластинкой $L$ с показателем преломления $n_{s}>n$. Толщина стекла настолько велика, что ее можно считать бесконечной. Такая система является «пластинкой с покрытием» (Рис. 1). Плоская монохроматическая волна (с длиной $\lambda_{0}$ в вакууме), распространяющаяся в направлении $Oz$, падает по нормали к пластинке с покрытием.

B1 Напишите уравнение непрерывности для компонент электрического и магнитного полей на поверхностях $\Sigma_{\mathrm{I}}$ (воздух пленка) и $\Sigma_{\mathrm{II}}$ (пленка – стекло). Какое выражение связывает компоненты $E$ и $H$ до и после пересечения светом тонкой пленки? Покажите, что эта тонкая пленка может быть охарактеризована квадратной матрицей, состоящей из четырех элементов. Будем считать, что $q=\sqrt{\varepsilon / \mu_{0}}$.

B2 Определите в зависимости от показателей преломления $n_{s}$, $n$ и толщины $d$ следующие характеристики пластинки с покрытием: амплитуду проходящего света $t$, амплитуду отраженного света $r$, коэффициент пропускания $T$, коэффициент отражения $R$.

B3 Какие значения должны иметь толщина и показатель преломления пленки, чтобы поверхность с покрытием была неотражающей?

Численный пример: $n_{s}=1.60$, $\lambda_{0}=0.5~мкм.$

Часть C. Многослойные диэлектрические покрытия

Рассмотрим теперь систему из $p$ тонких пленок, характеризующихся:

•  относительными толщинами $d_{1}, d_{2}, \ldots, d_{p}$ и 
• показателями преломления $n_{1}, n_{2}, \ldots, n_{p}$.

В этом случае применяется такое же освещение, как и прежде.

C1 Определите характеристическую матрицу для этой слоистой среды. Выведите выражение для амплитуд проходящего и отраженного света в случае системы из $p$ пленок.

C2 Можно сделать зеркало, используя систему тонких пленок, с попеременно высокими и низкими показателями преломления (пленки в контакте с воздухом имеют высокий показатель преломления). Обозначим показатели преломления этих пленок через $n_{h}$ (высокий) и $n_{l}$ (низкий). Будем считать, что все пленки имеют одинаковую оптическую толщину $\lambda_{0}/4$. Обоснуйте такой выбор толщины.

1. Определите характеристическую матрицу для одного периода (две пленки), для $2 p$ пленок и для ($2 p+1$) пленок.
2. Вычислите коэффициент отражения $R$ зеркала, имеющего $2 p$ и $(2 p+1)$ пленок.

Численный пример:

$n_{0}=1$, $n_{h}=2.3$ (сульфид цинка), $n_{l}=1.38$ (фтористый магний), $n_{s}=1.52$ (стеклянная подложка). Число пленок $1,2, \ldots, 11$. Напомним, что элементы $(c_{i j})$ матрицы $\hat{C}$, равной произведению матриц $\hat{A}$ и $\hat{B}$, получаются из следующего уравнения: $$ c_{i j}=\sum_{k=1}^{p} a_{i k} \cdot b_{k j}.$$