A1  ^?? Выведите формулы Френеля, определяющие амплитуду проходящего света $t$ и амплитуду отраженного света $r$.

Численный пример: $n_{1}=1$, $n_{2}=1.5$.

Отражение от стекла. Формулы Френеля

Нет необходимости проводить различие между параллельным и перпендикулярным колебаниями в плоскости падения. Действительно, для случая нормального падения все плоскости, через которые проходят лучи, являются плоскостями падения (Рис. 2а,б).

Возьмем поля $E_{i}$ и $H_{i}$ падающего света, ориентированные, как показано на Рис. 2. Направление полей проходящего света остается прежним. Для полей отраженного света существует выбор между ориентациями, представленными на Рис. 2,a и 2,б. Произвольно рассмотрим случай Рис. 2,a. Компоненты электрического и магнитного полей удовлетворяют условиям непрерывности на поверхности раздела: 

\[\begin{array}{lll}E_i+E_r=E_t,\\ \tag{1} H_i-H_r=H_t.\end{array}\]

 Между полями $E$ и $H$ каждой синусоидальной плоской волны существуют соотношения

\[\begin{array}{lll}\frac{H_i}{E_i}=\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{0}}}=\frac{H_{r}}{E_{r}}, \\ \tag{2} \frac{H_{t}}{E_{t}}=\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{0}}}.\end{array}\]

Для диэлектрической среды $\mu_{1}=\mu_{0}$, и мы имеем \[\begin{array}{lll}\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\varepsilon_{0}}}=n_{1}=\frac{c}{v_{1}}\\ \tag{3} \sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{0}}}=n_{2}=\frac{c}{v_{2}}\end{array}\] Исключая $H$ из уравнений $(1)$ и $(2)$, получаем формулы Френеля\[\begin{array}{lll} r=\frac{E_{r}}{E_{i}}=\frac{n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}=\frac{1-n}{1+n} \quad c \quad n=\frac{n_{2}}{n_{1}},\\ \tag{4}t=\frac{E_{t}}{E_{i}}=\frac{2 n_{1}}{n_{1}+n_{2}}=\frac{2}{1+n}. \end{array}\]

Примечания:

1. Величина $t$ всегда положительна; $E_{t}$ и $E_{i}$ имеют одно и то же направление;
2. $r$ имеет знак разности $\left(n_{1}-n_{2}\right)$,

•  если $n_{1}>n_{2}$, то $r>0$ (рис. 2,a),
•  если $n_{1}<n_{2}$, то $r<0$ (рис. 2,б).

Численный пример:

$$r=\frac{1-1.5}{1+1.5}=-\frac{0.5}{2.5}=-0.20$$ $$t=\frac{2}{2.5}=0.8$$ В случае когда отражение происходит в менее преломляющей среде от границы с более преломляющей средой, электрическое поле получает сдвиг фазы на $\pi$.

A2  ^?? Используя закон сохранения энергии, напишите выражение, которое связывает $r$ и $t$.

Сохранение энергии

Плотность электромагнитной энергии есть
$$w=\varepsilon E^{2}=\mu_{0} H^{2}, \tag{5}$$
отсюда энергия, содержащаяся в объеме $\mathrm d \tau$, равна
$$\mathrm d W=\varepsilon E^{2} \mathrm d \tau \tag{6}$$
Количество энергии, проходящее за время $\mathrm d t$ через элемент поверхности, параллельный плоскости фронта волны, есть то количество энергии, которое заключается за время $t$ в цилиндре с основанием $\mathrm d S$ и высотой $v \mathrm d t$ (где $v$ – скорость распространения волны в среде).
Уравнение $(6)$ может быть переписано в виде
$$\mathrm d W=\varepsilon E^{2} \mathrm d S \cdot v \cdot \mathrm d t \tag{7}$$
Тогда поток излучаемой энергии, проходящий через поверхность $\mathrm d S$, равен
$$\mathrm d \Phi=\frac{\mathrm d W}{\mathrm d t}=\varepsilon v E^{2}\mathrm d S \tag{8}$$
Закон сохранения энергии для потока записывается как
$$\mathrm d \Phi_{i}=\mathrm d \Phi_{r}+\mathrm d \Phi_{t} \tag{9}$$
После упрощения имеем
$$v_{1} \varepsilon_{1} E_{i}^{2}=v_{1} \varepsilon_{1} E_{r}^{2}+v_{2} \varepsilon_{2} E_{t}^{2} \tag{10}$$
Разделив обе части уравнения на $E_{i}^{2}$ и используя определение $t$ и $r$, получаем
$$1=r^{2}+n t^{2} \tag{11}$$
Это выражение можно было бы найти непосредственно, используя формулы Френеля $(4)$.

Примечание

В случае нормального падения света величины $r$ и $t$ связаны соотношениями\[\begin{array}{III} 1+r=t\\ \tag{12}1=r^{2}+n t^{2} \end{array}\]Для энергии имеем
$$1=R+T \tag{13}$$
Таким образом,
\[\begin{array}{III} R=r^{2} \\ \tag{14} T=n t^{2} \neq t^{2} \end{array}\] В действительности, если отраженный луч распространяется в той же среде, что и падающий луч, то он отличается от проходящего луча:

в общем случае энергия проходящего света не равна квадрату амплитуд проходящего света.

B1  ^?? Напишите уравнение непрерывности для компонент электрического и магнитного полей на поверхностях $\Sigma_{\mathrm{I}}$ (воздух пленка) и $\Sigma_{\mathrm{II}}$ (пленка – стекло). Какое выражение связывает компоненты $E$ и $H$ до и после пересечения светом тонкой пленки? Покажите, что эта тонкая пленка может быть охарактеризована квадратной матрицей, состоящей из четырех элементов. Будем считать, что $q=\sqrt{\varepsilon / \mu_{0}}$.

Просветляющие покрытия
Условия непрерывности

Поля $E$ и $H$ являются результатом действия двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях.
Примем
\[\begin{array}{III}
E=E^{+}+E^{-}, \\ \tag{15}
H=H^{+}+H^{-}.\end{array}\]
Индексом плюс обозначена волна, идущая в положительном направлении $Oz$, индексом минус – волна, идущая в противоположном направлении.
Второе уравнение $(15)$ может быть переписано с использованием $(2)$:
$$H=\sqrt{\frac{\bar{\varepsilon}}{\mu}}\left(E^{+}-E^{-}\right)=\sqrt{\frac{\bar{\varepsilon}}{\mu_{0}}}\left(E^{+}-E^{-}\right)=q\left(E^{+}-E^{-}\right). \tag{16}$$
Если $A$ и $B$ – амплитуды луча внутри пленки, то, принимая $k_{0}=2 \pi/\lambda_{0}$, имеем
\[\begin{array}{III}
E_{пленки}=A e^{-i k_{0} n z}+B e^{+j k_{0} n z}, \\ \tag{17}
H_{пленки}=q\left[A e^{-j k_{0} n z}-B e^{+j k_{0} n z}\right].\end{array}\]
При переходе от одной среды к другой уравнения Максвелла требуют непрерывности тангенциальных компонент векторов поля. В особом случае нормального падения векторы $E$ и $H$, перпендикулярные $Oz$, должны оставаться непрерывными.
Тогда на поверхностях $\Sigma_{\mathrm{I}}$ и $\Sigma_{\mathrm{II}}$ имеем
\begin{align*}
& на\quad \Sigma_{\mathrm{I}}\left\{\begin{aligned}
E_{I} & =A+B, \\
H_{I} & =q(A-B),
\end{aligned}\right.  \tag{18}\\
&  на\quad \Sigma_{\mathrm{II}}\left\{\begin{aligned}
E_{I} & =A e^{-j k_{0} n d}+B e^{+j k_{0} n d}, \\
H_{II} & =q\left[A e^{-j k_{0} n d}-B e^{+j k_{0} n d}\right].
\end{aligned}\right. \tag{19}
\end{align*}
Исключая $A$ и $B$ из уравнений $(18)$ и $(19)$, получаем
$$E_{\mathrm{II}}=\frac{1}{2 q}\left[\left(q E_{I}+H_{I}\right) e^{-j k_{0} n d}+\left(q E_{I}-H_{I}\right) e^{+j k_{0} n d}\right],$$$$H_{\mathrm{II}}=\frac{1}{2}\left[\left(q E_{I}+H_{I}\right) e^{-j k_{0} n d}-\left(q E_{I}-H_{I}\right) e^{+j k_{0} n d}\right].$$
Мы приходим к следующим линейным соотношениям:
\[\begin{array}{II}E_{\mathrm{I}}=E_{\mathrm{I}} \cos k_{0} n d-\frac{j}{q} H_{\mathrm{I}} \sin k_{0} n d\\
H_{\mathrm{II}}=-j q E_{\mathrm{I}} \sin k_{0} n d+H_{\mathrm{I}} \cos k_{0} n d \end{array}\]
Кроме того,
\[
\begin{array}{r}
E_{\mathrm{I}}=E_{\mathrm{II}} \cos k_{0} n d+\frac{j}{q} H_{\mathrm{II}}\sin k_{0} n d  \tag{20}\\
H_{\mathrm{I}}=j q E_{\mathrm{II}}\sin k_{0} n d+H_{\mathrm{II}}\cos k_{0} n d
\end{array}\]
или в матричной форме \[\left[\begin{array}{c}E_{\mathrm{I}} \\ H_{\mathrm{I}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos k_{0} n d  \frac{j}{q} \sin k_{0} n d \\ j q \sin k_{0} nd  \cos k_{0} n d\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}E_{\mathrm{II}} \\ H_{\mathrm{II}}\end{array}\right]=\hat{M_{1}} \left[\begin{array}{c} E_{\mathrm{II}} \tag{21}\\ H_{\mathrm{II}} \end{array}\right].\] 

Матрица $\hat {M_{1}}$ характеризует пленку. Это унимодулярная матрица, детерминант которой равен единице.

B2  ^?? Определите в зависимости от показателей преломления $n_{s}$, $n$ и толщины $d$ следующие характеристики пластинки с покрытием: амплитуду проходящего света $t$, амплитуду отраженного света $r$, коэффициент пропускания $T$, коэффициент отражения $R$.

В вакууме для поверхности $\Sigma_{\mathrm{I}}$ уравнения $(15)$ могут быть записаны в виде \begin{align*} & E_{\mathrm{I}}=E_{i}+E_{r}\tag{22}\\ & H_{\mathrm{I}}=q_{0}\left(E_{i}-E_{r}\right) \end{align*} В подложке, имеющей по предположению бесконечную толщину, волны в отрицательном направлении не распространяются. На поверхности $\Sigma_{\mathrm{II}}$ компоненты поля равны \begin{align*} E_{\mathrm{II}} & =E_{t}, \\ H_{\mathrm{II}} & =H_{t}=q_{s} E_{t}. \tag{23} \end{align*} При использовании уравнений $(22)$ и $(23)$ уравнение $(20)$ принимает вид \begin{align*} E_{i}+E_{r} & =E_{t}\left[\cos k_{0} n d+j \frac{q_{s}}{q} \sin k_{0} n d\right], \tag{24}\\ q_{0}\left(E_{i}-E_{r}\right) & =E_{t}\left[j q \sin k_{0} n d+q_{s} \cos k_{0} n d\right] \end{align*} отсюда получаем:

Амплитуда проходящего света

\begin{align*} & t=\frac{E_{t}}{E_{i}}=\frac{2 q_{0} q}{q\left(q_{0}+q_{s}\right) \cos k_{0} n d+i\left(q^{2}+q_{0} q_{s}\right) \sin k_{0} n d}, \tag{25}\\ & t=\frac{2}{\left(1+n_{s}\right) \cos k_{0} n d+j\left[n+\left(n_{s} / n\right)\right] \sin k_{0} n d}. \tag{26} \end{align*}

Амплитуда отраженного света

\begin{align*} & r=\frac{E_{r}}{E_{i}}=\frac{q\left(q_{0}-q_{s}\right) \cos k_{0} n d+j\left(q_{0} q_{s}-q^{2}\right) \sin k_{0} n d}{q\left(q_{0}+q_{s}\right) \cos k_{0} n d+j\left(q_{0} q_{s}+q^{2}\right) \sin k_{0} n d}, \tag{27}\\ & r=\frac{\left(1-n_{s}\right) \cos k_{0} n d+j\left[\left(n_{s} / n\right)-n\right] \sin k_{0} n d}{\left(1+n_{s}\right) \cos k_{0} n d+j\left[\left(n_{s} / n\right)+n\right] \sin k_{0} n d}. \tag{28} \end{align*}

Коэффициент пропускания

\begin{equation*} T=\frac{q_{s}}{q_{0}}|t|^{2}=\frac{q_{s}}{q_{0}} t t^{*}=\frac{n_{s}}{n} t t^{*} \tag{29} \end{equation*} Так как внешние среды не идентичны, то $T \neq t^{2}$. Уравнение $(25)$ позволяет написать \begin{align*} & T=\frac{4 q_{0} q_{s} q^{2}}{q^{2}\left(q_{0}+q_{s}\right)^{2} \cos ^{2}k_{0} n d+\left(q^{2}+q_{0} q_{s}\right)^{2} \sin ^{2} k_{0} n d}{} \tag{30}\\ & T=\frac{4 q_{0} q_{s} q^{2}}{q^{2}\left(q_{0}+q_{s}\right)^{2}+\left(q^{2}-q_{0}^{2}\right)\left(q^{2}-q_{s}^{2}\right) \sin ^{2} k_{0} n d}, \tag{31} \end{align*} или, наконец, через показатели преломления \begin{equation*} T=\frac{4 n_{s}}{\left(1+n_{s}\right)^{2}+\left(n^{2}-1\right)\left[1-\left(n_{s} / n\right)^{2}\right] \sin ^{2} k_{0} n d}. \tag{32} \end{equation*}

Коэффициент отражения

\begin{equation*}
R=1-T=\frac{\left(1-n_{s}\right)^{2}+\left(n^{2}-1\right)\left[1-\left(n_{s} / n\right)^{2}\right] \sin ^{2} k_{0} n d}{\left(1+n_{s}\right)^{2}+\left(n^{2}-1\right)\left[1-\left(n_{s} / n\right)^{2}\right] \sin ^{2} k_{0} n d} \tag{33}
\end{equation*}

B3  ^?? Какие значения должны иметь толщина и показатель преломления пленки, чтобы поверхность с покрытием была неотражающей?

Численный пример: $n_{s}=1.60$, $\lambda_{0}=0.5~мкм.$

Вернемся к уравнению $(32)$. Так как $1 < n < n_{s}$, то второй член в знаменателе $D$ всегда отрицателен. Чтобы $T$ было максимальным, $D$ должно быть минимальным, т. е. значение $\sin k_{0} n d$ должно быть максимальным, или, наконец, $$n d=\frac{\lambda_{0}}{4}. \tag{34}$$ Для этой оптической толщины покрытия поверхности коэффициент пропускания будет $$T=\frac{4 n^{2} n_{s}}{n^{2}\left(1+n_{s}\right)^{2}+\left(n^{2}-1\right)\left(n^{2}-n_{s}^{2}\right)}=\frac{4 n^{2} n_{s}}{\left(n^{2}+n_{s}\right)^{2}} \tag{35}$$ Это значение максимально для $$n^{2}=n_{s} \tag{36}$$

Заключение

Пластинка с покрытием будет идеально прозрачной, если толщина и показатель преломления пленки удовлетворяют условиям \begin{align*} n & =\sqrt{n_{s}}, \\ n d & =\frac{\lambda_{0}}{4}. \tag{37} \end{align*}

Численный пример:

$$n=\sqrt{1.6}=1.265$$$$d=\frac{\lambda_{0}}{4 n}=\frac{0.5}{5.06} \approx 0.1~мкм.$$

Примечание

Не существует твердого тела с показателем преломления меньше чем $1.3.$ Путем нанесения единственной пленки нельзя получить идеального просветляющего покрытия, но можно добиться лишь хорошего приближения к нему.

C1  ^?? Определите характеристическую матрицу для этой слоистой среды. Выведите выражение для амплитуд проходящего и отраженного света в случае системы из $p$ пленок.

Многослойные диэлектрические покрытия

Записывая уравнения непрерывности на поверхностях $\Sigma_{\mathrm{II}}$ и $\Sigma_\mathrm{{III}}$, получаем \[\left[\begin{array}{c}E_{\mathrm{II}} \\ H_{\mathrm{II}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos k_{0} n_{2} d_{2} & \frac{j}{q^{2}} \sin k_{0} n_{2} d_{2} \\ j q_{2} \sin k_{0} d_{2} & \cos k_{0} n_{2} d_{2}\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}E_{\mathrm{III}} \\ H_{\mathrm{III}}\end{array}\right]=\hat{M_{2}} \left[\begin{array}{c} E_{\mathrm{III}} \tag{38}\\ H_{\mathrm{III}} \end{array}\right].\] Используя уравнения $(21)$, можно написать \[ \left[\begin{array}{l} E_{\mathrm{I}} \tag{39}\\ H_{\mathrm{I}} \end{array}\right]=\hat{M_{1}}\hat{M_{2}}\left[\begin{array}{c} E_{\mathrm{III}} \\ H_{\mathrm{III}} \end{array}\right] \] Отсюда следует, что соотношения между $E_{\mathrm{I}}$ и $H_{\mathrm{I}}$ (значения $E$ и $H$ на плоскости $z=0$) и $E_{p+1}$ и $H_{p+1}$ (значения $E$ и $H$ на плоскости $z=d_{1}+d_{2}+\ldots+d_{p}$) равны \[ \left[\begin{array}{c} E_{\mathrm{I}} \tag{40}\\ H_{\mathrm{I}} \end{array}\right]=\hat{M_{1}}\hat{M_{2}} \ldots \hat{M_{p}} \left[\begin{array}{c} E_{P+1} \\ H_{P+1} \end{array}\right] \] или, наконец, \[ \left[\begin{array}{c} E_{\mathrm{I}} \tag{41}\\ H_{\mathrm{I}} \end{array}\right]=\hat{M}\left[\begin{array}{c} E_{P+1} \\ H_{P+1} \end{array}\right].\] Для системы $p$ тонких пленок, характеристические матрицы которых $\hat{M_{i}}$, имеем $$\hat{M}=\prod_{i=1}^{p}\hat{M_{i}}. \tag{42}$$

Примечание

Матричное произведение не коммутативно. Произведение следует брать в той последовательности, в которой падающая волна падает на пленки. $\hat{М}$ – всегда унимодулярная матрица. Это свойство является результатом сохранения энергии, переносимой электромагнитной волной. Уравнение $(40)$ может быть переписано в виде \[ \left[\begin{array}{c} E_{\mathrm{I}} \tag{43}\\ H_{\mathrm{I}} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} m_{11} & m_{12} \\ m_{21} & m_{22} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} E_{P+\mathrm{I}} \\ H_{P+\mathrm{I}} \end{array}\right].\]

Амплитуда проходящего света $t$

Уравнение $(22)$ остается неизменным. Уравнение $(23)$ принимает вид \begin{align*} & E_{P+\mathrm{I}}=E_{t} \\ & H_{P+1}=H_{t}=q_{s} E_{t}. \tag{44} \end{align*} Объединяя $(22)$, $(43)$ и $(44)$, можно написать \begin{equation*} t=\frac{E_{t}}{E_{i}}=\frac{2 q_{0}}{q_{0}\left(m_{11}+q_{s} m_{12}\right)+\left(m_{21}+q_{s} m_{22}\right)} \tag{45} \end{equation*}

Амплитуда отраженного света $r$

Таким же образом, как и раньше, получаем
\begin{equation*}
r=\frac{E_{r}}{E_{i}}=\frac{q_{0}\left(m_{11}+q_{s} m_{12}\right)-\left(m_{21}+q_{s} m_{22}\right)}{q_{0}\left(m_{11}+q_{s} m_{12}\right)+\left(m_{21}+q_{s} m_{22}\right)} . \tag{46}
\end{equation*}

C2  ^?? Можно сделать зеркало, используя систему тонких пленок, с попеременно высокими и низкими показателями преломления (пленки в контакте с воздухом имеют высокий показатель преломления). Обозначим показатели преломления этих пленок через $n_{h}$ (высокий) и $n_{l}$ (низкий). Будем считать, что все пленки имеют одинаковую оптическую толщину $\lambda_{0}/4$. Обоснуйте такой выбор толщины.

1. Определите характеристическую матрицу для одного периода (две пленки), для $2 p$ пленок и для ($2 p+1$) пленок.
2. Вычислите коэффициент отражения $R$ зеркала, имеющего $2 p$ и $(2 p+1)$ пленок.

Численный пример:

$n_{0}=1$, $n_{h}=2.3$ (сульфид цинка), $n_{l}=1.38$ (фтористый магний), $n_{s}=1.52$ (стеклянная подложка). Число пленок $1,2, \ldots, 11$. Напомним, что элементы $(c_{i j})$ матрицы $\hat{C}$, равной произведению матриц $\hat{A}$ и $\hat{B}$, получаются из следующего уравнения: $$ c_{i j}=\sum_{k=1}^{p} a_{i k} \cdot b_{k j}.$$

1. Характеристические матрицы

Так как мы имеем пленки в четверть длины волны ( $\lambda_{0} / 4$ ), то матрицы $\hat{M_{1}}$ и $\hat{M_{2}}$ принимают вид $${\hat{M_{h}}=\left[\begin{array}{cc} 0 & \frac{i}{q_{h}} \\ j q_{h} & 0 \end{array}\right],} \tag{47}$$ $${\hat{M_{l}}=\left[\begin{array}{cc} 0 & \frac{j}{q_{l}} \\ j q_{l} & 0 \end{array}\right]} \tag{48}$$ Характеристическая матрица для одного периода равна $$\hat{M}_{1~период~или~2~пленкии}=\left[\begin{array}{cc}-\frac{q_{l}}{q_{h}} & 0 \tag{49}\\ 0 & -\frac{q_{h}}{q_{l}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-\frac{n_{l}}{n_{h}} & 0 \\ 0 & -\frac{n_{h}}{n_{l}}\end{array}\right].$$ Для $p$ периодов получаем $$\hat{M}_{\rho~периодов~или~2 \rho~пленок}=\left[\begin{array}{cc} \left(-\frac{n_{l}}{n_{h}}\right)^{p} & 0 \tag{50}\\ 0 & \left(-\frac{n_{h}}{n_{l}}\right)^{p} \end{array}\right].$$ Для $(2 p+1)$ характеристическая матрица равна \begin{gather*} {\hat{M}_{(2 p+1) пленок}=\hat{M}_{2 \rho  пленок}\hat{M_{h}},} \tag{51}\\ {\hat{M}_{(2 p+1) пленок}=\left[\begin{array}{cc} \left(-\frac{n_{l}}{n_{h}}\right)^{p} & 0 \\ 0 & \left(-\frac{n_{h}}{n_{l}}\right)^{p} \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 0 & \frac{i}{q_{h}} \\ j q_{h} & 0 \end{array}\right],} \tag{52}\\ {\hat{M}_{(2 p+1) пленок}=\left[\begin{array}{cc} 0 & \left(-\frac{n_{l}}{n_{h}}\right)^{p} \frac{j}{q_{h}} \\ \left(-\frac{n_{h}}{n_{l}}\right)^{p} j q_{h} & 0 \end{array}\right]} \tag{53} \end{gather*}

2. Расчет коэффициента отражения $R=|r|^{2}$

Вернемся к уравнению $(46)$, дающему $r$, и заменим элементы $m$ элементами матриц $(50)$ или $(53)$.

Случай $2p$ пленок: $$r_{2 p}=\frac{q_{0}\left(-n_{l} / n_{h}\right)^{p}-q_{s}\left(-n_{h} / n_{l}\right)^{p}}{q_{0}\left(-n_{l} / n_{h}\right)^{p}+q_{s}\left(-n_{h} / n_{l}\right)^{p}}, \tag{54}$$ следовательно, $$R_{2 p}=\left[\frac{1-\left(n_{s} / n_{0}\right)\left(n_{h} / n_{l}\right)^{2 p}}{1+\left(n_{s} / n_{0}\right)\left(n_{h} / n_{l}\right)^{2 p}}\right]^{2}. \tag{55}$$

Случай $(2 p+1)$ пленок: \begin{align*} & r_{2 p+1}=\frac{q_{0} q_{s}\left(-n_{l} / n_{h}\right)^{p} 1 / q_{h}-\left(-n_{h} / n_{l}\right)^{p} q_{h}}{q_{0} q_{s}\left(-n_{l} / n_{h}\right)^{p} 1 / q_{h}+\left(-n_{h} / n_{l}\right)^{p} q_{h}} \tag{56}\\ & R_{2 p+1}=\left[\frac{1-\left(n_{h} / n_{l}\right)^{2 p}\left(n_{h}^{2} / n_{0} n_{s}\right)}{1+\left(n_{h} / n_{l}\right)^{2 p}\left(n_{h}^{2} / n_{0} n_{s}\right)}\right]^{2} \tag{57} \end{align*}

Численный пример приводится в таблице 1.
Пленки не поглощают, и $R+T=1$.

Таблица 1

число плёнок	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
$T$	0.693	0.619	0.340	0.289	0.138	0.116	0.0522	0.0432	0.0191	0.0158	0.0069
$R$	0.307	0.381	0.660	0.711	0.862	0.884	0.9478	0.9568	0.9809	0.9842	0.9931

Примечание

Выбор $\lambda_{0} / 4$ как оптимальной толщины для пленок может быть легко объяснен (рис. 3).

Если два последующих отражения являются отражениями разного типа, то два отраженных луча имеют разность хода $2 n d+\lambda_{0}/2$.

Чтобы эти лучи создавали интерференционную картину, требуется выполнение условия $n d=\lambda_{0}/4$. Следовательно, $$n_{h} d_{h}=\frac{\lambda_{0}}{4} \quad и \quad n_{l} d_{l}=\frac{\lambda_{0}}{4}.$$ Необходимо, чтобы отражения, испытываемые лучами $1$ и $2$ были различного типа, так же как и отражения, испытываемые последними двумя лучами. Иными словами, необходимо иметь нечетное число пленок, где сульфид цинка находится в контакте с воздухом с одной стороны и со стеклом – с другой.

В современном интерферометре Фабри - Перо на внешние грани наносятся многослойные диэлектрические покрытия. Заметим, что селективность увеличивается с числом пленок.