Пусть резонатор имеет форму куба, одна из вершин которого находится в точке $O$, а три стороны ориентированы вдоль осей $Ox, Oy$ и $Oz$ правильного тетраэдра. Резонатор откачивается, и мы считаем, что стенки идеально проводят.

A1 Создадим в резонаторе электромагнитное поле с частотой $\nu$; при этом возбуждение создает электрическое поле, параллельное оси $Oz$. Исходя из уравнения для электромагнитной волны и условий, налагаемых на волновое поле на стенках, покажите, что можно получить стационарные состояния, в которых поле $E$ параллельно оси $Oz$ и имеет значение, не зависящее от $z$, для которого существует соотношение между длиной резонатора $L$ и длиной волны $\lambda_{0}$ в вакууме для плоской волны с частотой $\nu$. Примем $$E_{z}(x, y)=X(x) \cdot Y(y).$$ Определите минимальное значение $L$ и произведите расчет для $\nu=3 \cdot 10^{9}~Гц$.

B1 Примем для $L$ найденное выше минимальное значение, и пусть $E_{0}$ будет максимальной амплитудой $E_{z}$. Выразите поля $E_{z}$, $H_{x}$, $H_{y}$ и $H_{z}$ как функции $x$, $y$, $z$, $t$ и параметров $L$, $E_{0}$ и $\omega=2 \pi \nu$. Найдите среднюю энергию, содержащуюся в резонаторе, как функцию $L$ и $E_{0}$.

Численный пример: $\nu=3 \cdot 10^{9}~Гц$, $E_{6}=10^{7}~В/м$