A1  ^?? Создадим в резонаторе электромагнитное поле с частотой $\nu$; при этом возбуждение создает электрическое поле, параллельное оси $Oz$. Исходя из уравнения для электромагнитной волны и условий, налагаемых на волновое поле на стенках, покажите, что можно получить стационарные состояния, в которых поле $E$ параллельно оси $Oz$ и имеет значение, не зависящее от $z$, для которого существует соотношение между длиной резонатора $L$ и длиной волны $\lambda_{0}$ в вакууме для плоской волны с частотой $\nu$. Примем $$E_{z}(x, y)=X(x) \cdot Y(y).$$ Определите минимальное значение $L$ и произведите расчет для $\nu=3 \cdot 10^{9}~Гц$.

Для монохроматической волны волновое уравнение записывается как $$\Delta \vec{E}+\sigma^{2} \vec{E}=0 \quad\left(\sigma=\frac{2 \pi \nu}{c}=\frac{2 \pi}{\lambda_{0}}\right). \tag{1}$$ Для искомого поля $$E_{x}=0, \quad E_{y}=0, \quad E_{z}=E_{z}(x, y)$$ уравнение $(1)$ принимает вид $$\frac{\partial^{2} E_{z}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} E_{z}}{\partial y^{2}}+\sigma^{2} E_{z}=0$$ Подставляя в него решение, принятое выше: $E_{z}(x, y)=X(x) Y(y)$, имеем $$\frac{1}{X} \frac{d^{2} X}{d x^{2}}+\frac{1}{Y} \frac{d^{2} Y}{d y^{2}}+\sigma^{2}=0 \tag{2}$$ Общее решение будет $$X=A_{1} \sin \left(\sigma_{1} x+\varphi_{1}\right), \quad Y=A_{2} \sin \left(\sigma_{2} y+\varphi_{2}\right) \tag{3}$$ и уравнение $(2)$ требует, чтобы $$\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}=\sigma^{2} \tag{4}$$ Условия, налагаемые стенками идеального проводника, состоят в том, что тангенциальная компонента поля $\vec{E}$ и нормальная компонента поля $\vec{H}$ должны быть равны нулю, следовательно, $$X(0)=X(L)=0, \quad Y(0)=Y(L)=0.$$ Решения $(3)$ записываются как $$X=A_{1} \sin \frac{K_{1} \pi x}{L}, \quad Y=A_{2} \sin \frac{K_{2} \pi y}{L},$$ где $K_{1}$ и $K_{2}$ – целые числа, которые при использовании $(4)$ удовлетворяют условиям $$\left(K_{1}^{2}+K_{2}^{2}\right) \frac{\pi^{2}}{L^{2}}=\sigma^{2}$$ или $$K_{1}^{2}+K_{2}^{2}=\frac{4 L^{2}}{\lambda_{0}^{2}}$$ Собственные частоты резонатора для рассматриваемой моды соответствуют длинам волн $$\lambda_{0}=\frac{2 L}{\sqrt{K_{1}^{2}+K_{2}^{2}}}.$$ Минимальное значение $L$ получается при $K_{1}=K_{2}=1$: $$L_{m}=\frac{\lambda_{0}}{\sqrt{2}}.$$ При $\nu=3 \cdot 10^{9}~Гц$ и $\lambda_{0}=0.01~м$, $L_{m}=7.07~см.$

B1  ^?? Примем для $L$ найденное выше минимальное значение, и пусть $E_{0}$ будет максимальной амплитудой $E_{z}$. Выразите поля $E_{z}$, $H_{x}$, $H_{y}$ и $H_{z}$ как функции $x$, $y$, $z$, $t$ и параметров $L$, $E_{0}$ и $\omega=2 \pi \nu$. Найдите среднюю энергию, содержащуюся в резонаторе, как функцию $L$ и $E_{0}$.

Численный пример: $\nu=3 \cdot 10^{9}~Гц$, $E_{6}=10^{7}~В/м$

При $L=L_{m}$ электрическое поле имеет вид $$E_{z}=E_{0} \sin \frac{\pi x}{L} \sin \frac{\pi y}{L} \cos \omega t.$$ Можно найти магнитное поле из уравнения $$\operatorname{rot}\vec{E}=-\mu_{0} \frac{\partial \vec{H}}{\partial t}$$ что дает $$\begin{aligned} & -\frac{\partial H_{x}}{\partial t}=\frac{E_{0}}{\mu_{0}} \frac{\pi}{L} \sin \frac{\pi x}{L} \cos \frac{\pi y}{L} \cos \omega t, \\ & -\frac{\partial H_{y}}{\partial t}=-\frac{E_{0}}{\mu_{0}} \frac{\pi}{L} \cos \frac{\pi x}{L} \sin \frac{\pi y}{L} \cos \omega t, \end{aligned}$$ и для минимального значения $L$ получаем $$H_{x}=-\frac{E_{0} \pi}{\mu_{0} L \omega} \sin \frac{\pi x}{L} \cos \frac{\pi y}{L} \sin \omega t=-\sqrt{\frac{\varepsilon_{0}}{2 \mu_{0}}} E_{0} \sin \frac{\pi x}{L} \cos \frac{\pi y}{L} \sin \omega t,$$ $$H_{y}=\frac{E_{0} \pi}{\mu_{0} L \omega} \cos \frac{\pi x}{L} \sin \frac{\pi y}{L} \sin \omega t=\sqrt{\frac{\varepsilon_{0}}{2 \mu_{0}}} E_{0} \cos \frac{\pi x}{L} \sin \frac{\pi y}{L} \sin \omega t.$$ Средняя энергия, заключаемая в резонаторе, получается из среднего по времени значения плотности энергии $$w=\frac{1}{2}\left(\varepsilon_{0} E^{2}+\mu_{0} H^{2}\right).$$ Так как мы имеем дело с синусоидальными функциями, то $\left\langle E_{z}^{2}\right\rangle=E_{0}^{2} / 2$. Наконец, нужно взять средние значения по объему: $$ \begin{aligned} \left\langle E_{z}^{2}\right\rangle & =\frac{E_{0}^{2}}{2} \frac{1}{L} \int_{0}^{L} \sin ^{2} \frac{\pi x}{L} \,\mathrm d x \cdot \frac{1}{L} \int_{0}^{L} \sin ^{2} \frac{\pi y}{L} \,\mathrm d y=\frac{E_{0}^{2}}{2} \cdot \frac{1}{4}, \\ \left\langle H_{x}^{2}\right\rangle & =\frac{\varepsilon_{0}}{2 \mu_{0}} \cdot \frac{E_{0}^{2}}{2} \cdot \frac{1}{4}, \quad\left\langle H_{y}^{2}\right\rangle=\frac{\varepsilon_{0}}{2 \mu_{0}} \cdot \frac{E_{0}^{2}}{2} \cdot \frac{1}{4}, \\ \langle W\rangle & =L^{3} \frac{E_{0}^{2}}{4}\left[\frac{\varepsilon_{0}}{4}+\frac{\varepsilon_{0}}{2}\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)\right]=\frac{\varepsilon_{0} E_{0}^{2} L^{3}}{8}.\end{aligned}$$

Численный пример

$$\langle W\rangle=\frac{10^{14} \cdot 10^{-1}}{8 \cdot 4 \cdot 3.14 \cdot 9 \cdot 10^{9} \cdot 2 \cdot \sqrt{2}} \approx 4.0~Дж.$$