Pho.rs: Необратимые термодинамические циклы

A1 ^0.70 Запишите выражение для полезной мощности двигателя. Выразите ответ через $Q_1$, $Q_2$, $\gamma$, $D$, $\tau$.

1 Записана или использована скорость движения поршня $2 D/\tau$	0.20
2 Подводимая мощность $(Q_1 - Q_2)/\tau$	0.10
3 Учтена мощность потерь на трение	0.10
4 Правильный ответ $$ P = \frac{Q_1 - Q_2}{\tau} - \frac{4 \gamma D^2}{\tau^2} $$	0.30

A2 ^0.30 Найдите оптимальную продолжительность цикла $\tau$, при которой мощность будет максимальной.

1 Мощность продифференцирована по $\tau$	0.10
2 $$ \tau = \frac{8 \gamma D}{Q_1 - Q_2} $$	0.20

A3 ^0.30 Найдите выражение для КПД (отношения полезной работы к подведенному количеству теплоты) в случае работы двигателя при оптимальной продолжительности цикла.

1 $\eta = (Q_1 - Q_2)/(2 Q_1)$

0.30

A4 ^0.20 Пусть $Q_1$, $Q_2$ такие же, как если бы двигатель работал по идеальному циклу Карно. Выразите КПД рассматриваемого цикла через КПД такого цикла Карно $\eta_c$.

1 КПД цикла Карно $\eta_c = (Q_1 - Q_2)/Q_1$	0.10
2 $\eta = \eta_c/2$	0.10

B1 ^0.80 Определите количества теплоты $Q_1$ и $Q_2$, выразите ответ через $\nu$, $R$, $T_1'$, $T_2'$, $V_1$, $V_2$.

1 Указано или используется, что на изотерме подведенное количество тепла равно работе	0.10
2 Выражение для тепла на одной из изотерм $$ Q_1 = \nu R T_1' \ln \frac{V_2}{V_1} $$	0.20
3 M1 Использовано соотношение для теплот в цикле Карно (через энтропию или формулу для КПД)	0.30
4 M2 Записано уравнение адиабаты	0.10
5 M2 Получено соотношение между объемами $V_1$, $V_2$, $V_3$, $V_4$.	0.20
6 Получено количество тепла на второй адиабате $$ Q_2 = \nu R T_2' \ln \frac{V_2}{V_1} $$	0.20

B2 ^0.40 Выразите время цикла $t_c$ через $Q_1$, $Q_2$, $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\Delta T_1$, $\Delta T_2$. Временем, которое занимают адиабатические процессы, можно пренебречь.

1 Использована формула для времени одного изотермического процесса $Q_1/\alpha_1 \Delta T_1$	0.10
2 Время записано как сумма двух времен изотерм	0.10
3 $$ t = \frac{Q_1}{\alpha_1 \Delta T_1} + \frac{Q_2}{\alpha_2 \Delta T_2}. $$	0.20

B3 ^0.40 Выразите полезную мощность цикла $P$ через $T_1$, $T_2$, $\Delta T_1$, $\Delta T_2$, $\alpha_1$, $\alpha_2$.

1 Полезная работа равна $A = Q_1 - Q_2$	0.05
2 Мощность $P = A/t_c$	0.05
3 Ответ выражен через требуемые величины $$ P = \frac{T_1 - T_2 - \Delta T_1 - \Delta T_2}{\dfrac{T_1 - \Delta T_1}{\alpha_1 \Delta T_1} + \dfrac{T_2 + \Delta T_2}{\alpha_2 \Delta T_2}} = \alpha_1 \alpha_2 \frac{\Delta T_1 \Delta T_2 (T_1 - T_2 - \Delta T_1 - \Delta T_2)}{\alpha_1 T_2 \Delta T_1 + \alpha_2 T_1 \Delta T_2 + (\alpha_1 - \alpha_2) \Delta T_1 \Delta T_2} $$	0.30

B4 ^0.40 Будем рассматривать только циклы, продолжающиеся фиксированное время $t_c$. Найдите следующее отсюда соотношение между приращениями $d \Delta T_1$ и $d \Delta T_2$. Выразите ответ через $T_1$, $T_2$, $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\Delta T_1$, $\Delta T_2$.

1 Идея дифференцирования формулы для $t_c$	0.10
2 $$ \frac{T_1}{\alpha_1 \Delta T_1^2} d \Delta T_1 + \frac{T_2 }{\alpha_2 \Delta T_2^2}d \Delta T_2 = 0 $$или эквивалентное выражение	0.30

B5 ^0.50 Пусть продолжительность цикла $t_c$ фиксирована. Найдите отношение $\Delta T_1/\Delta T_2$, при котором мощность $P$ максимальна.

1 Мощность корректно продифференцирована при фиксированном $t_c$	0.20
2 $$ \frac{\Delta T_1 }{\Delta T_2} = \left( \frac{\alpha_2 T_1}{\alpha_1 T_2}\right)^{1/2} $$	0.30

B6 ^0.80 Продифференцируйте мощность по $\Delta T_1$. Покажите, что условие равенства нулю этой производной можно записать в виде
$$
\frac{\Delta T_1}{\Delta T_2} = h\frac{P}{\Delta T_1 \Delta T_2},
$$где $h$ – некоторая величина, не зависящая от $\Delta T_1$ и $\Delta T_2$. Получите выражение для $h$.

1 Мощность корректно продифференцирована в любом виде	0.30
2 Получен ответ: $$ h = \frac{T_1}{\alpha_1} $$	0.50
3 Арифметическая ошибка, не изменяющая смысл вычислений	-0.20

B7 ^1.20 Используя результаты предыдущих двух пунктов, определите значения $\Delta T_1$, $\Delta T_2$, при которых мощность максимально. То, что найденные значения соответствуют именно максимуму доказывать не требуется. Выразите ответ через $T_1$, $T_2$, $\alpha_1$, $\alpha_2$. Вы можете существенно упростить вычисления, если будете считать, что соотношения между $\Delta T_1$ и $\Delta T_2$, полученное в предыдущем пункте, выполняется.

1 Записано корректное уравнение, связывающее $\Delta T_1$ и $\Delta T_2$ в максимуме, кроме полученного в B5	0.20
2 Получено квадратное уравнение на одну из разностей температур	0.30
3 Получен ответ для одной из разностей температур	0.40
4 Получен ответ для второй разности температур	0.30

B8 ^0.70 Найдите значение максимальной мощности $P$ и кпд $\eta$ цикла при оптимальных значениях $\Delta T_1$, $\Delta T_2$. Выразите ответ через $T_1$, $T_2$, $\alpha_1$, $\alpha_2$.

1 $$ P = \alpha_1 \alpha_2 \frac{(\sqrt{T_1}- \sqrt{T_2})^2}{(\sqrt{\alpha_1}+ \sqrt{\alpha_2})^2}, $$	0.40
2 $$ \eta = 1- \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}. $$	0.30

B9 ^0.30 Типичная температура нагревателя тепловой электростанции $560 ~^\circ \mbox{C}$, холодильника $25~^\circ \mbox{C}$. Вычислите для этих температур кпд цикла карно и кпд найденный в предыдущем пункте. Какое из этих значений лучше описывает измеренное значение $\eta = 0.36$?

1 $\eta(Карно) = 0.64$	0.10
2 $\eta(B8) = 0.40$	0.10
3 Обоснованный вывод о том, что вторая модель лучше	0.10

C1 ^0.80 Выразите коэффициент полезного действия $\eta$ тепловой машины через коэффициенты полезного действия ее частей $\eta_1$, $\eta_2$ (они определяются как отношения полезных работ к количествам теплоты, поданных на рабочее тело соответствующей машины), а также через коэффициенты $N_1$, $N_2$.

1 Корректно вычислена или использована работа первой машины	0.20
2 Корректно вычислено или использовано количества тепла, полученное второй машиной.	0.30
3 $$ \eta = \eta_1 + \eta_2 - \eta_1 \eta_2 - N_1 \eta_1 (1-\eta_2) -N_2 \eta_2. $$	0.30

C2 ^0.90 Выразите $\eta$ через температуры $T_H$, $T_L$, $T_{L1}$ и коэффициенты $K_1$, $K_2$. Считайте, что отдельные циклы тепловых двигателей — это циклы Карно.

1 Использована формула для КПД цикла Карно	0.10
2 Правильное слагаемое без учета утечек $$ \eta = 1- \frac{T_L}{T_H} - K_1 \frac{(T_H - T_{L1})^2 T_L}{T_{L1} T_H} - K_2 \frac{(T_{L1}- T_L)^2}{T_{L1}} $$	0.30
3 Правильный коэффициент перед $K_1$	0.30
4 Правильный коэффициент перед $K_2$	0.20

C3 ^0.40 При $T_L/T_H = 0.5$, $K_1 T_H = 0.3$, $K_2 T_H = 0.2$ постройте график зависимости КПД от отношения $T_{L1}/T_H$.

1 График построен в правильных пределах (от 0.5 до 1)	0.10
2 Качественный вид: кривая с одним максимумом	0.10
3 Качественный вид: значение на правом краю больше, чем на левом	0.10
4 Указаны характерные значения (хотя бы по одному числу на каждой оси)	0.10

C4 ^0.90 Найдите температуру промежуточного холодильника $T_{L1}$, при котором найденный КПД максимален. Для случая $K_1 = K_2$ приведите выражение для максимального КПД.

1 Выражение для КПД корректно продифференцировано	0.30
2 Найдено значение $T_{L1} = T_{L1} = \sqrt{T_L T_H \frac{K_1 T_H + K_2 T_L}{K_1 T_L + K_2 T_H}}$	0.30
3 $T_{L1} =\sqrt{T_L T_H}$ при $K_1 = K_2$	0.10
4 $\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H} - 2K\sqrt{\frac{T_L}{T_H}}(\sqrt{T_H}-\sqrt{T_L})^2$	0.20

Необратимые термодинамические циклы

Разбалловка