Смещение поршня в одну сторону происходит за время $\tau/2$, поэтому его скорость во время движения $v = 2D/\tau$, а значит мощность силы трения
$$
P_{fr} = -\gamma v^2 = - \frac{4 \gamma D^2}{\tau^2}.
$$Подведенная к двигателю мощность, затрачиваемая на работу
$$
P_1 = \frac{Q_1 - Q_2}{\tau}.
$$Тогда полезная мощность

Дифференцируя мощность по $\tau$, получим
$$
- \frac{Q_1 - Q_2}{\tau^2} + \frac{8 \gamma D}{\tau^3} = 0,
$$откуда

Полезная работа, совершенная за цикл
$$
A = Q_ 1- Q_2 + P_{fr} \tau = Q_1 - Q_2 - \frac{4 \gamma D}{\tau} = \frac{Q_1 - Q_2}{2}.
$$Разделив на подведенное количество тепла, получим КПД

Для цикла Карно
$$
\eta_c = \frac{Q_1- Q_2}{Q_1},
$$поэтому

На изотерме внутренняя энергия идеального газа не меняется, поэтому подведенное количество теплоты равно совершенной газом работе
$$
Q_1 = A_1 = \int \limits_{V_1}^{V_2} pdV = \nu R T_1' \int \limits_{V_1}^{V_2} \frac{dV}{V} = \nu R T_1' \ln \frac{V_2}{V_1}.$$Пусть на второй изотерме объем уменьшается от $V_3$ до $V_4$. Запишем уравнения двух адиабат в переменных $(V,\,T)$, получим
$$
T_1' V_2^{\gamma - 1} = T_2' V_3^{\gamma -1}, \quad T_1' V_1^{\gamma -1} = T_2' V_4^{\gamma -1},
$$
откуда получаем соотношение между объемами
$$
\frac{V_2}{V_1} = \frac{V_3}{V_4}.
$$Тогда на второй изотерме отводится тепло
$$
Q_2 = -A = - \int\limits_{V_3}^{V_4} \nu R T_2' \frac{dV}{V} = \nu R T_2' \ln\frac{V_3}{V_4} = \nu R T_2' \ln\frac{V_2}{V_1}
$$Альтернативно можно заметить, что рассматриваемый цикл – это цикл Карно между температурами $T_1'$ и $T_2'$, поэтому между теплотами выполняется соотношение
$$
\frac{Q_1}{T_1'} = \frac{Q_2}{T_2'},
$$позволяющее сразу выразить $Q_2$ через $Q_1$. Это соотноешние следует из равенства нулю полного изменения энтропии за цикл (без учета теплообмена с внешними источниками) или непосредственно из формулы для КПД цикла Карно.

Продолжительность каждой из изотерм равна подведенному или отведенному количеству тепла, деленному на соответствующую мощность. Полное время – сумма времен на двух изотермах

Полезная мощность равна отношению работы за цикл к его времени, найденном в предыдущем пункте
$$
P = \frac{Q_1- Q_2}{t_c} = \frac{Q_1 - Q_2}{\dfrac{Q_1}{\alpha_1 \Delta T_1} + \dfrac{Q_2}{\alpha_2 \Delta T_2}}.
$$Подставим в это выражение формулы для количеств теплоты. После этого множители $\nu R \ln (V_2/V_1)$ сократятся
$$
P = \frac{T_1' - T_2'}{\dfrac{T_1'}{\alpha_1 \Delta T_1} + \dfrac{T_2'}{\alpha_2 \Delta T_2}}
$$ Также используем формулы для $T_1' = T_1 - \Delta T_1$ и $T_2' = T_2 + \Delta T_2$. Окончательно получим

Не учитывая постоянный множитель $\nu R \ln \dfrac{V_2}{V_1}$, запишем
$$
t_c \sim \frac{T_1 - \Delta T_1}{\alpha_1 \Delta T_1} + \frac{T_2 + \Delta T_2}{\alpha_2 \Delta T_2} = \frac{T_1}{\alpha_1 \Delta T_1} + \frac{T_2}{\alpha_2 \Delta T_2} - \frac{1}{\alpha_1} + \frac{1}{\alpha_2}.
$$Дифференцируя, получим

При фиксированной продолжительности цикла мощность будет максимальна при максимальной работе $Q_1- Q_2$, то есть с точностью до постоянного множителя нужно максимизировать выражение
$T_1 - T_2 - \Delta T_1 - \Delta T_2$, а значит
$$
d \Delta T_1 - d \Delta T_2 = 0.
$$
Подставляя в результаты предыдущего пункта получим
$$
\left(\frac{T_1}{\alpha_1 \Delta T_1^2} - \frac{T_2 }{\alpha_2 \Delta T_2^2} \right) = 0,
$$

Обозначим $\Delta T = T_1 - T_2 - \Delta T_1 - \Delta T_2$, $y = \alpha_1 T_2 \Delta T_1 + \alpha_2 T_1 \Delta T_2 + (\alpha_1 - \alpha_2) \Delta T_1 \Delta T_2$. Тогда выражение для мощности примет вид
$$
P = \alpha_1 \alpha_2 \frac{\Delta T_1 \Delta T_2 \Delta T}{y}.
$$С учетом производных
$$
\frac{\partial \Delta T}{\partial \Delta T_1} = -1, \quad \frac{\partial y }{\partial \Delta T_1} = \alpha_1 T_2 +(\alpha_1 - \alpha_2)\Delta T_2,
$$получим
$$
\frac{\partial P}{\partial \Delta T_1} = \alpha_1 \alpha_2\frac{\Delta T_2 \Delta T y - \Delta T_1 \Delta T_2 y - \Delta T_1 \Delta T_2 \Delta T(\alpha_1 T_2 +(\alpha_1 - \alpha_2)\Delta T_2)}{y^2}.
$$Приравнивая числитель дроби к нулю и сокращая на $\Delta T_2$, получим
$$
\Delta T (y - \Delta T_1(\alpha_1 T_2 +(\alpha_1 - \alpha_2)\Delta T_2)) - \Delta T_1 \Delta T_2 y =0,
$$откуда после упрощения первой скобки
$$
\alpha_2 T_1 \Delta T_2 \Delta T - \Delta T_1 y = 0, \quad \frac{\Delta T_1}{\Delta T_2} = \alpha_2 T_1 \frac{\Delta T}{y}.
$$Выражая $\Delta T/y$ через мощность, получим
$$
\frac{\Delta T_1}{\Delta T_2} = \frac{T_1}{\alpha_1} \frac{P}{\Delta T_1 \Delta T_2}.
$$

Подставим в формулу из предыдущего пункта найденное ранее значение $\Delta T_1/\Delta T_2$ и явное выражение для $P$. Получим уравнение, связывающее $\Delta T_1$ и $\Delta T_2$:
$$
\left( \frac{\alpha_2 T_1}{\alpha_1 T_2}\right)^{1/2} = \alpha_2 T_1 \frac{T_1 - T_2 - \Delta T_1 - \Delta T_2}{\alpha_1 T_2 \Delta T_1 + \alpha_2 T_1 \Delta T_2 + (\alpha_1 - \alpha_2) \Delta T_1 \Delta T_2},
$$откуда
$$
\alpha_1 T_2 \Delta T_1 + \alpha_2 T_1 \Delta T_2 + (\alpha_1 - \alpha_2) \Delta T_1 \Delta T_2 = (\alpha_1 \alpha_2 T_1 T_2)^{1/2} (T_1 - T_2 - \Delta T_1 - \Delta T_2).
$$Выразив здесь $\Delta T_2$ через $\Delta T_1$, получим квадратное уравнение относительно $\Delta T_1 $. Отметим, что при прямом вычислении производной мощности по $\Delta T_1$ получилось бы намного больше слагаемых, что значительно затруднило бы получение окончательного ответа.
$$
(\alpha_1 - \alpha_2) \left( \frac{\alpha_1 T_2}{\alpha_2 T_1} \right)^{1/2} \Delta T_1^2 + 2 (\alpha_1 T_2 + (\alpha_1 \alpha_2 T_1 T_2)^{1/2})\Delta T_1 - (\alpha_1 \alpha_2 T_1 T_2)^{1/2} (T_1 - T_2) = 0.
$$Дискриминант этого уравнения
\begin{multline*}\frac{1}{4} D = \alpha_1 T_2 (\sqrt{\alpha_1 T_2}+ \sqrt{\alpha_2 T_1})^2 + \alpha_1 T_2(\alpha_1- \alpha_2)(T_1 - T_2)\\
= \alpha_1 T_2 (\alpha_1 T_1 + \alpha_2 T_2 + 2 (\alpha_1 \alpha_2 T_1 T_2)^{1/2}) = \alpha_1 T_2 (\sqrt{\alpha_1 T_1 } + \sqrt{\alpha_2 T_2})^{2}
\end{multline*}
Тогда один из корней уравнения
$$
\Delta T_1 = \left( \frac{\alpha_2 T_1}{\alpha_1 T_2}\right)^{1/2} \frac{1}{\alpha_1 - \alpha_2} (-\alpha_1 T_2- (\alpha_1 \alpha_2 T_1 T_2)^{1/2} + \alpha_1 \sqrt{T_1 T_2} + T_2 \sqrt{\alpha_1 \alpha_2}).
$$Разложим выражение в числителе на множители
$$
\Delta T_1 = \left( \frac{\alpha_2 T_1}{\alpha_1 T_2}\right)^{1/2} \frac{1}{\alpha_1 - \alpha_2} (\alpha_1 - \sqrt{\alpha_1 \alpha_2})(\sqrt{T_1 T_2} - T_2) = \frac{T_1 - \sqrt{T_1 T_2}}{1 + \sqrt{\alpha_1/ \alpha_2}}.
$$Второй корень можно найти аналогично или с помощью теоремы Виета,
$$
\Delta T_1 ^{(2)} = \frac{T_1 + \sqrt{T_1 T_2}}{1 - \sqrt{\alpha_1/\alpha_2}}.
$$При $\alpha_1 < \alpha_2$ этот корень больше $T_1$ (что делает $T_1'$ отрицательным), а при $\alpha_1 > \alpha_2$ отрицателен. В обоих случаях второй корень не имеет физического смысла.
Тогда
$$
\Delta T_2 = \frac{\sqrt{T_1 T_2} - T_2}{1 + \sqrt{\alpha_2 /\alpha_1}}.
$$

Используя значения разностей температур и формулу из B6, получим
$$
P = \frac{\alpha_1}{T_1 }\frac{\Delta T_1}{\Delta T_2} \Delta T_1 \Delta T_2 = \frac{\alpha_1}{T_1} \left(\frac{T_1 -\sqrt{T_1 T_2}}{1 + \sqrt{\alpha_1/\alpha_2}} \right)^2 = \alpha_1 \alpha_2\frac{(\sqrt{T_1}- \sqrt{T_2})^2}{(\sqrt{\alpha_1} + \sqrt{\alpha_2})^2}.
$$Коэффициент полезного действия
\begin{align*}\eta = 1 - \frac{Q_2}{Q_1} &= 1 -\frac{T_2'}{T_1'} = 1- \frac{T_2 + \Delta T_2}{T_1 - \Delta T_1}, \\
\eta = 1 - \frac{T_2 + \dfrac{\sqrt{T_1 T_2 }- T_2}{1 + \sqrt{\alpha_2/\alpha_1}}}{T_1 - \dfrac{T_1 - \sqrt{T_1 T_2}}{1 + \sqrt{\alpha_1/\alpha_2}}} &=1-
\frac{1+ \sqrt{\alpha_1/\alpha_2}}{1 + \sqrt{\alpha_2/\alpha_1}}\cdot \frac{T_2 \sqrt{\alpha_2/\alpha_1} + \sqrt{T_1 T_2}}{T_1 \sqrt{\alpha_1/\alpha_2}+ \sqrt{T_1 T_2}}\\
\eta = 1 - \frac{T_2 \sqrt{\alpha_2}+ \sqrt{T_1 T_2 \alpha_1}}{T_1 \sqrt{\alpha_1} + \sqrt{T_1 T_2 \alpha_2}} &= 1 - \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}.
\end{align*}

Рабочее тело первой тепловой машины получает количество теплоты
$$Q_{H1} = Q_H - Q_{B1} = (1- N_1) Q_H,$$тогда ее работа
$$
W_1 = \eta_1 Q_{H1} = \eta_1 (1- N_1) Q_H.
$$Тогда рабочее тело второй тепловой машины получает количество тепла
$$
Q_{H2} = (1- \eta_1) Q_{H1} + Q_{B1} - Q_{B2}.
$$Здесь первое слагаемое – тепло, пришедшее от рабочего тела первой тепловой машины, $Q_{B1}$ – от первого холодильника за счет утечки, $Q_{B2}$ – тепло, теряемое за счет утечки.
Тогда полезная работа второй машины
$$
W_2 = \eta_2 (1 - \eta_1)(1-N_1)Q_H + \eta_2 N_1 Q_H- \eta_2 N_2 Q_H.
$$Коэффициент полезного действия цикла
$$
\eta = \frac{W_1 + W_2}{Q_H} = \eta_1(1-N_1) + \eta_2[(1-\eta_1)(1-N_1) + N_1 - N_2].
$$Упрощая, получим ответ

Используем формулы для КПД циклов Карно
$$
\eta_1 = 1 - \frac{T_{L1}}{T_H}, \quad \eta_2 = 1 - \frac{T_L}{T_{L1}}.
$$Тогда слагаемые, не содержащие утечек, имеют вид
$$
\eta_1 +\eta_2 - \eta_1 \eta_2 = 1 - \frac{T_{L1}}{T_H} - \frac{T_L}{T_{L1}} - \left(1 - \frac{T_{L1}}{T_H} \right) \left(1 - \frac{T_L}{T_{L1}} \right) = 1 - \frac{T_{L}}{T_H},
$$то есть КПД цикла Карно с температурами $T_H$, $T_L$. Подставляя остальные слагаемые и выражения для $N_i$ через разности температур, найдем
$$
\eta = 1- \frac{T_L}{T_H} - K_1 (T_H - T_{L1}) \frac{T_H- T_{L1}}{T_H} \frac{T_L}{T_{L1}} - K_2 (T_{L1} - T_L) \frac{T_{L1} - T_L}{T_{L1}},
$$

Продифференцируем формулу по $T_{L1}$, получим
$$
\frac{\partial \eta}{\partial T_{L1}} = - K_1 \left[2\frac{(T_{L1} - T_H)T_L}{T_{L1}T_H}- \frac{(T_{L1}-T_H)^2 T_L}{T_{L1}^2 T_H} \right] -K_2 \left[ \frac{2(T_{L1} - T_L)}{T_{L1}} - \frac{(T_{L1}-T_L)^2}{T_{L1}^2}\right],
$$откуда находим
$$
- K_1 \frac{T_{L}}{T_{L1}^2 T_H}(T_{L1}^2 - T_H^2)- \frac{K_2}{T_{L1}^2} (T_{L1}^2 - T_L^2) =0,
$$откуда
$$
T_{L1}^2 = T_L T_H\frac{K_1 T_H + K_2 T_L}{K_1 T_L + K_2 T_H}.
$$При $K_1 = K_2$ получаем $T_{L1} = \sqrt{T_H T_L}$.
Подставив это значение в формулу для КПД, получим
$$
\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H} - 2K\sqrt{\frac{T_L}{T_H}}(\sqrt{T_H}-\sqrt{T_L})^2.
$$