Многие физические системы обладают симметрией, то есть не изменяют своих свойств при некоторых преобразованиях, например при поворотах системы как целого. При спонтанном нарушении симметрии состояние системы с минимальной энергией менее симметрично, чем сама система. Так для некоторых ферромагнетиков энергия не зависит от направления магнитного момента, однако в намагниченном состоянии магнитный момент направлен в некоторую сторону, что явно задает выделенное направление. Часто спонтанное нарушение симметрии происходит при фазовых переходах, например из парамагнитного состояния в ферромагнитное. Также симметрии и их нарушение важны в физике элементарных частиц. 

Ферромагнитная жидкость (феррофлюид) — жидкость, сильно поляризующаяся в присутствии магнитного поля. Ферромагнитные жидкости представляют собой коллоидные системы, состоящие из ферромагнитных  частиц нанометровых размеров, находящихся во взвешенном состоянии в несущей жидкости, в качестве которой обычно выступает органический растворитель или вода.

В течение всей задачи частные производные, например $\partial/\partial x$ обозначаются, как $\partial_x$. В частности, для некоторой функции $f$:

$$ \frac{\partial f}{\partial x} = \partial_x f, \quad  \frac{\partial f}{\partial y} = \partial_y f, \quad  \frac{\partial f}{\partial z} = \partial_z f.$$

Часть А. Предварительные данные (3 балла)

Рассмотрим несжимаемую жидкость со следующими характеристиками: плотность $\rho$, коэффициент поверхностного натяжения $\sigma$, магнитная проницаемость $\mu \neq 1$. В вертикальном гравитационном поле $g$ эта жидкость заполняет полупространство $z<0$ под вакуумом. После включения достаточно большого вертикального однородного магнитного поля $B_0$ ее поверхность искажается и становится функцией координат $\Theta (X,Y)$.

Данный процесс называют неустойчивостью Розенцвейга и он обусловлен тем, что когда магнитное поле $B_0$ оказывается выше некоторого $B_c$, образование пиков на поверхности жидкости является энергетически выгодным: парамагнитное вещество втягивается в область локального большого поля $B$, а на острой структуре локальное поле $B$ в свою очередь еще увеличивается. Эффект локализации поля на острых металлических структурах хорошо известен для электрического поля и проявляется в данной системе в силу полной аналогии между электростатикой и магнитостатикой.

В эксперименте при $B_0>B_c$ в качестве равновесного состояния наблюдается гексагональные решетки из пиков $\Theta (X,Y)$. Этот эффект можно рассматривать как параметрическую кристаллизацию двумерной жидкости в двумерный кристалл. Такой двумерный кристалл можно «расплавить», если его «нагреть», то есть пустить по нему случайные волны. Вообще говоря, поведение ферромагнитной жидкости во внешнем поле является сильно нелинейным, и система обладает множеством стабильных состояний: солитоны, одномерные волны, квадратная решетка и т.д. Но мы будем рассматривать в этой задаче только гексагональную решетку.

Будем называть фазу при $B_0<B_c$ жидкой, а фазу при $B_0>B_c$ кристаллической. Далее, будем работать в терминах усреднения по поверхности жидкости и обозначать такое усреднение угловыми скобками:
\[ \langle F \rangle = \lim_{S \to \infty} \frac{1}{S} \int_{S} F \, dX \, dY\]

Обратите внимание, что интегрирование идет в переменных $X$ и $Y$, то есть указанное выражение не является интегралом по поверхности жидкости $\Theta(X,Y)$.

A1  ^0.20 Чему равно $\langle \Theta \rangle$ в кристаллической фазе?

При этом сама энергия системы не меняет вид зависимости от $\xi$ относительно отражения $\xi \to -\xi$ при любых значениях параметра $\alpha$. То есть отражение координаты является симметрией системы.

При $\alpha > 0$ положение равновесия находится в точке $\xi=0$, и этот случай соответствует жидкой фазе. Это положение равновесия при отражении $\xi \to -\xi$ переходит само в себя, то есть отражение является симметрией жидкой фазы.

При $\alpha<0$ положение равновесия $\xi=0$ теряет свою устойчивость и в системе возникает два физически разных устойчивых положения шарика: $\pm \xi_0$ и это соответствует кристаллической фазе. Пусть шарик находится справа, тогда при отражении он переходит в левое состояние, то есть начинает характеризоваться другой $\xi$. Это значит, что положения равновесия переходят друг в друга но НЕ сами в себя, поэтому отражение НЕ является симметрией кристаллической фазы.

Опишем ферромагнитную жидкость во внешнем поле аналогичным образом. Полная энергия ферримагнитной жидкости $\Pi [ \Theta (X,Y) ]$ зависит от формы ее поверхности $\Theta(X,Y)$ как от функции, то есть $\Theta(X,Y)$ является аналогом $\xi$. Аналогом параметра $\alpha$ выступает некоторая функция внешнего магнитного поля $B_0$.

Рассмотрим два преобразования системы:

• Трансляция $T_{\vec{a}}$ на вектор $\vec{a}$. Преобразование: $(X',Y') = (X+ a_X, Y + a_Y)$;
• Поворот $R_\varphi$ на угол $\varphi$. Преобразование: $(X',Y') = (X \cos \varphi - Y \sin \varphi, Y \cos \varphi + X \sin \varphi)$

и их комбинации.

Примечание: Пункты A2-A4 независимы от остальных частей задачи и не требуются для их решения.

A2  ^0.20 Опишите симметрии системы, то есть преобразования, которые не изменяют вид зависимость энергии $\Pi$ системы от $\Theta(X,Y)$.

A3  ^0.20 Опишите симметрии равновесного состояния жидкой фазы, то есть преобразования, которые не изменяют состояние системы: $\Theta(X',Y') = \Theta(X,Y)$.

A4  ^0.40 Опишите симметрии равновесных состояний кристаллической фазы.

В энергию единицы поверхности жидкости $dS = dX \, dY$ вносят вклад три эффекта: энергия жидкости в гравитационном поле $\Pi_g$, поверхностная энергия $\Pi_\sigma$ жидкости, энергия $\Pi_B$ диполей жидкости в магнитном поле c объемной плотностью $-\frac{\mu_0}{2} \vec{H}_0 \vec{M}(X,Y,Z)$, где $\vec{H}_0$ – напряженность внешнего магнитного поля в вакууме (до внесения в него жидкости), $\vec{M}(X,Y,Z)$ – намагниченность вещества.

В каждом слагаемом предполагается усреднение некоторых величины по площади.

A5  ^0.60 Запишите $\Pi_g$ через $\rho$, $g$ и $\langle \Theta^2 \rangle$.

Пусть поверхность задана уравнением $Z = f(X, Y)$. Тогда элемент площади поверхности, лежащей над площадкой $dXdY$ задается выражением $$ dS = dX dY \sqrt{1+ \left(\partial_X f\right)^2 +\left(\partial_Y f\right)^2}. $$

A6  ^0.20 Запишите $\Pi_\sigma$ через $\sigma$ и усреднение, содержащие $(\nabla_0 \Theta)^2$, где $\nabla_0 = (\partial_X, \partial_Y)$ это двумерный вектор набла. \[ \nabla_0 \Theta = \begin{pmatrix} \partial_X \Theta \\ \partial_Y \Theta \end{pmatrix}\]

A7  ^0.60 Запишите $\Pi_B$ через $\vec{B}(X,Y,Z)$, $\vec{B}_0$ $\mu$, $\mu_0$ и $\Theta$. Запись может содержать усреднение от интеграла вдоль оси $Z$. Считайте, что слой жидкости является бесконечно глубоким.

Сделаем задачу безразмерной, для этого рассмотрим \[ U = U_g + U_\sigma + U_B = (\Pi_g + \Pi_\sigma + \Pi_B)/\sigma\] и сделаем линейные размеры безразмерными: $(X, Y, Z) = \sqrt{\sigma/(\rho g)} \cdot (x, y, z)$. Поверхность $\Theta (X,Y)$ при таком переходе становится безразмерной функцией $\zeta(x,y)$ безразмерных координат $x,y$: \[ \Theta (X,Y) = \sqrt{\sigma/(\rho g)} \cdot \zeta(x,y) \]

A8  ^0.60 Запишите выражение для безразмерной энергии $U$ единицы безразмерной площади системы. В ответ могут входить $\zeta$, $\mu$, $\mu_0$, $\sqrt{\sigma \rho g}$, $\vec{B}(x,y,z)$, $\vec{B}_0$, безразмерная $\nabla=(\partial_x, \partial_y)$ и интегрирование по безразмерному $z$.

Часть В. Магнитное поле на неровной границе (5 баллов)

В данной части мы рассмотрим, как изменяется однородное магнитное поле $B_0$ на неровной границе раздела между вакуумом и парамагнитным ($\mu > 1$) веществом.

Решим задачу пертрубативно: рассмотрим малые возмущения магнитного поля относительно случая, когда поверхность является плоской и горизонтальной, то есть для любых $x$ и $y$ выполняется, что $\zeta(x,y) = 0$.

Будем работать в безразмерных единицах длины, представленных в прошлой части.

Магнитное поле в случае, когда парамагнитное вещество имеет плоскую поверхность, является вертикальным однородным и имеет индуктивность $B_0$.

Если некоторая величина зависит от $z$, то для ее значения в вакууме используйте индекс $\uparrow$, а для ее значения в парамагнетике индекс $\downarrow$.

B1  ^0.30 Чему равен скачок $\Delta H$ напряженность магнитного поля на поверхности парамагнетика в случае плоской поверхности? Знак выбран следующим образом: $\Delta H = H_{0\uparrow}(z=0) - H_{0\downarrow}(z=0)$. Ответ выразите через $B_0$, $\mu$ и $\mu_0$.

В случае малых искажений поверхности $\zeta(x,y) \neq 0$ магнитное поле испытывает малые возмущения: $\vec{B} = \vec{B}_0 + \vec{b}$, $\vec{H} = \vec{H}_0 + \vec{h}$. Мы рассматриваем задачу магнитостатики при отсутствии токов, поэтому можно ввести магнитостатический потенциал $\phi$: 

\[ (\partial_x \phi, \partial_y \phi, \partial_z \phi) = \vec{h}. \]

Возмущения поверхности будем считать слабыми в терминах $\partial_{x,y} \zeta \ll 1$. При этом будем рассматривать случай $\langle \zeta \rangle = 0$.

От перехода к безразмерным координатам определение дивергенции не меняется:
\[ \operatorname{div} \vec{b} = \partial_x b_x + \partial_y b_y + \partial_z b_z\]

B2  ^0.30 Запишите уравнение $\operatorname{div} \vec{b}=0$ в вакууме и внутри вещества через частные производные второго порядка $\partial^2_{x,y,z} \phi_{\uparrow,\downarrow}$.

B3  ^0.30 Запишите приближенное уравнение, соответствующие граничному условию для поля $\vec{B}$. В ответ могут входить только компоненты полей $\vec{b}_{\uparrow,\downarrow}$.

B4  ^0.60 Запишите приближенные уравнения, соответствующие граничному условию для поля $\vec{H}$. В ответ могут входить компоненты поля $\vec{h}_{\uparrow,\downarrow}$, $\Delta H$ и $\partial_{x,y} \zeta$. В силу малости возмущений $|\vec{h}| \ll \Delta H$.

Разложим поверхность по модам $\vec{k} = (k_x, k_y)$ и сдвинем точку $\vec{r}_0 = (0,0)$ в ближайший пик. Тогда $\zeta(x,y)=\sum a_i \cos \vec{k}_i \vec{r}$, где $i$ - номер моды. Такие поверхности будут в линейном приближении генерировать возмущения $\phi(x,y,z) = \sum u_i(z) \cos \vec{k}_i \vec{r}$. При этом приближенные граничные условия будут выполнены только в ведущем порядке по $|\vec{k}_i| a_i$. Обратите внимание, что $\vec{k}$ и $\vec{r}$ двумерные. Наши уравнения являются линейными, поэтому можно искать $u_i(z)$ для каждой моды независимым образом.

B5  ^0.70 С помощью пункта B2 получите дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют функции $u_{i\uparrow,\downarrow}$. Найдите вид решений (т.е. в ответ могут входить неизвестные константы) $u_{i\uparrow,\downarrow}(z)$ в вакууме и в парамагнетике. Постройте качественный график $u_{i\uparrow}$ и $u_{i\downarrow}$ от $z$.

Напомним, что $\phi(x,y,z)$ создает малые возмущения магнитного поля во всем пространстве, в т.ч. при $z = \pm \infty$.

B6  ^0.80 Найдите значения констант из предыдущего пункта и запишите $\phi_{\uparrow, \downarrow}(\vec{r},z)$ в вакууме и в парамагнетике. В ответ могут входить $\Delta H$, $\mu$, $k_i$ и $a_i \cos \vec{k}_i \vec{r}$. Учтите, что $k_i \cdot \zeta(x,y) \ll 1$.

Пусть в случае плоской поверхности $\zeta(x,y)=0$ безразмерная энергия магнитного поля, приходящаяся на единицу безразмерной площади, равна $U_{B0}$, а в случае рассмотренной выше неровной поверхности $\zeta(x,y)$ она равна $U_{B0} + \Delta U_B$.

Сделаем дополнительное ограничение на возможные $\zeta(x,y)$. Пусть поверхность $\zeta(x,y)$ состоит только из мод с одинаковым модулем волнового вектора $k$, то есть для любого $k_i $ в формуле
\[ \zeta(x,y)=\sum a_i \cos \vec{k}_i \vec{r}\]
выполняется $|\vec{k}_i| = k$.

Пользуйтесь безразмерной энергией единицы поверхности $U_B$ из части А.

B7  ^0.80 Выразите добавку к энергии магнитного поля $\Delta U_B$ через усредненный интеграл содержащий $\vec{b}$.

B8  ^1.20 Найдите добавку к энергии магнитного поля $\Delta U_B$, приходящейся на единицу площади. Ответ выразите через $\mu$, $\mu_0$, $B_0$, $\sqrt{\sigma \rho g}$, $k$, $a$ и $\langle \zeta^2 \rangle$.

Часть С. Линейный анализ (2 балла)

Поверхность с регулярной гексагональной решеткой из пиков с амплитудой $A$ можно представить, как сумму по трем $\vec{k}$ c одинаковым модулем: $\zeta(\vec{r}) = \sum a_i \cos \vec{k}_i \vec{r}$. Также $ka \ll 1$.

C1  ^0.30 Как связаны направления $\vec{k}_i$ друг с другом? Как связаны $a_i$ друг с другом и с $A$?

C2  ^1.20 Найдите $U$ как функцию $A$, $k$ и параметров системы $\mu$, $\mu_0$, $\sqrt{\sigma \rho g}$ и $B_0$.

C3  ^0.20 При каком $B_c$ состояние $\zeta(x,y)=0$ теряет устойчивость?

C4  ^0.20 Гексагональная решетка с каким $k_c$ возникает на поверхности жидкости при $B>B_c$, $B/B_c -1 \ll 1$?

C5  ^0.10 Будет ли наблюдаться неустойчивость Розенцвейга в диамагнитной $(\mu < 1)$ жидкости?