Logo
Logo

Ферромагнитная жидкость и спонтанное нарушение симметрии

Задачи
Корзина недоступна
Чтобы пользоваться корзиной для создания наборов задач, авторизуйтесь.

Разбалловка

Y25
0.0
Сумма баллов
A1  0.20 Чему равно $\langle \Theta \rangle$ в кристаллической фазе?

1 Получен правильный ответ: $\left<\Theta\right> = 0$. 0.20
A2  0.20 Опишите симметрии системы, то есть преобразования, которые не изменяют вид зависимость энергии $\Pi$ системы от $\Theta(X,Y)$.

1 Указано, что система симметрична относительно любых $T$. 0.10
2 Указано, что система симметрична относительно любых $R$. 0.10
A3  0.20 Опишите симметрии равновесного состояния жидкой фазы, то есть преобразования, которые не изменяют состояние системы: $\Theta(X',Y') = \Theta(X,Y)$.

1 Указано, что это состояние симметрично относительно любых $T$. 0.10
2 Указано, что это состояние симметрично относительно любых $R$. 0.10
A4  0.40 Опишите симметрии равновесных состояний кристаллической фазы.

1 Указано, что это состояние симметрично относительно трансляций $T$ вдоль кристаллических направлений гексагональной решётки. 0.20
2 Указано, что это состояние симметрично относительно вращений $R$ вокруг точек гексагональной решётки на $\pi/3$. 0.20
A5  0.60 Запишите $\Pi_g$ через $\rho$, $g$ и $\langle \Theta^2 \rangle$.

1 Получен ответ:\[\Pi_g = \frac{1}{2} \rho g \langle \Theta^2 \rangle.\]При потере коэффициенте 1/2 на дальнейшие пункты задачи работает Propagation error. 0.60
2 Неправильный численный коэффициент. -0.30
A6  0.20 Запишите $\Pi_\sigma$ через $\sigma$ и усреднение, содержащие $(\nabla_0 \Theta)^2$, где $\nabla_0 = (\partial_X, \partial_Y)$ это двумерный вектор набла.

\[ \nabla_0 \Theta = \begin{pmatrix} \partial_X \Theta \\ \partial_Y \Theta \end{pmatrix}\]

1 Получен ответ:
\[ \Pi_\sigma = \sigma \langle \sqrt{ 1 + (\nabla_0 \Theta)^2} \rangle.\] 		0.20
A7  0.60 Запишите $\Pi_B$ через $\vec{B}(X,Y,Z)$, $\vec{B}_0$ $\mu$, $\mu_0$ и $\Theta$. Запись может содержать усреднение от интеграла вдоль оси $Z$.

Считайте, что слой жидкости является бесконечно глубоким.

1 Получен ответ:
\[ \Pi_B = -\frac{\mu-1}{2 \mu \mu_0} \langle \int\limits_{-\infty}^{\Theta} \vec{B} \cdot \vec{B}_0 \, d Z \rangle. \] 		0.60
A8  0.60 Запишите выражение для безразмерной энергии $U$ единицы безразмерной площади системы. В ответ могут входить $\zeta$, $\mu$, $\mu_0$, $\sqrt{\sigma \rho g}$, $\vec{B}(x,y,z)$, $\vec{B}_0$, безразмерная $\nabla=(\partial_x, \partial_y)$ и интегрирование по безразмерному $z$.

1 Получен ответ:
\[U = \frac{1}{2} \left\langle \zeta^2 \right\rangle + \left\langle \sqrt{1+ (\nabla \zeta)^2} \right\rangle - \frac{\mu-1}{2 \mu_0 \mu \sqrt{\sigma \rho g}} \left\langle \int\limits_{-\infty}^{\zeta} \vec{B} \cdot \vec{B}_0 \, d z \right\rangle.\] 		3 × 0.20
B1  0.30 Чему равен скачок $\Delta H$ напряженность магнитного поля на поверхности парамагнетика в случае плоской поверхности? Знак выбран следующим образом: $\Delta H = H_{0\uparrow}(z=0) - H_{0\downarrow}(z=0)$. Ответ выразите через $B_0$, $\mu$ и $\mu_0$.

1 Получено, что индукция магнитного поля во всём пространстве равна $\vec B_0$. 0.10
2 Получен ответ:
\[\Delta H = \frac{B_0}{\mu_0} \frac{\mu - 1}{\mu}.\] 		0.20
B2  0.30 Запишите уравнение $\operatorname{div} \vec{b}=0$ в вакууме и внутри вещества через частные производные второго порядка $\partial^2_{x,y,z} \phi_{\uparrow,\downarrow}$.

1 Получен ответ:
\[ \left(\partial_x^2 + \partial_y^2 + \partial_z^2\right) \phi_{\uparrow, \downarrow} =0.\] 		2 × 0.15
B3  0.30 Запишите приближенное уравнение, соответствующие граничному условию для поля $\vec{B}$. В ответ могут входить только компоненты полей $\vec{b}_{\uparrow,\downarrow}$.

1 Нормаль к поверхности: $$\vec n = (- \partial_x \zeta, -\partial_y \zeta,1).$$ 0.10
2 Получен ответ:
\[b_{z\uparrow} = b_{z \downarrow}.\] 		0.20
B4  0.60 Запишите приближенные уравнения, соответствующие граничному условию для поля $\vec{H}$. В ответ могут входить компоненты поля $\vec{h}_{\uparrow,\downarrow}$, $\Delta H$ и $\partial_{x,y} \zeta$.

В силу малости возмущений $|\vec{h}| \ll \Delta H$.

1 Гранитное условие на $\vec H$ имеет вид:
$$H_\tau = \text{const}.$$ 		0.20
2 Получен ответ:
\[ \begin{cases}
h_{x\uparrow} + \Delta H \partial_x \zeta = h_{x,\downarrow} \\
h_{y\uparrow} + \Delta H \partial_y \zeta = h_{y,\downarrow}
\end{cases}.\] 		2 × 0.20
B5  0.70 С помощью пункта B2 получите дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют функции $u_{i\uparrow,\downarrow}$. Найдите вид решений (т.е. в ответ могут входить неизвестные константы) $u_{i\uparrow,\downarrow}(z)$ в вакууме и в парамагнетике. Постройте качественный график $u_{i\uparrow}$ и $u_{i\downarrow}$ от $z$.

Напомним, что $\phi(x,y,z)$ создает малые возмущения магнитного поля во всем пространстве, в т.ч. при $z = \pm \infty$.

1 Получено дифференциальное уравнение вида:
$$u_i''(z)=k^2u_i(z).$$ 		0.20
2 Решение уравнение имеет вид:
$$u_i(z) = Ae^{kz}+Be^{-kz}.$$При неправильном знаке в выражении в прошлом пункте работает Propagation error. 		0.20
3 Получен правильный ответ:
\[u_{i\uparrow}(z) = u_{i\uparrow} e^{-kz}, \quad u_{i\downarrow}(z) = u_{i\downarrow} e^{kz}.\] 		2 × 0.10
4 Построен график. 0.10
B6  0.80 Найдите значения констант из предыдущего пункта и запишите $\phi_{\uparrow, \downarrow}(\vec{r},z)$ в вакууме и в парамагнетике. В ответ могут входить $\Delta H$, $\mu$, $k_i$ и $a_i \cos \vec{k}_i \vec{r}$.

Учтите, что $k_i \cdot \zeta(x,y) \ll 1$.

1 Получено соотношение:
\[-u_{i\uparrow} = \mu u_{i\downarrow}.\]Пункт оценивается даже если не использовано приближение $k \zeta \ll 1$. 		0.20
2 Получено соотношение:\[u_{i\uparrow} + \Delta H a_i = u_{i\downarrow}.\]Пункт оценивается даже если не использовано приближение $k \zeta \ll 1$. 0.20
3 Получен ответ:
\[\phi_{\uparrow} = - \sum \frac{\mu \Delta H}{\mu + 1} a_i e^{-k_i z} \cos (k_{ix} x + k_{iy} y), \quad \phi_{\downarrow} = \sum \frac{\Delta H}{\mu + 1} a_i e^{k_i z} \cos (k_{ix} x + k_{iy} y).\] 		2 × 0.20
B7  0.80 Выразите добавку к энергии магнитного поля $\Delta U_B$ через усредненный интеграл содержащий $\vec{b}$.

1 Доказано, что слагаемое с $B_0^2$ не изменится. 0.30
2 Получен ответ:
\[
\Delta U_B = - \frac{\mu-1}{2\mu \mu_0\sqrt{\sigma \rho g}} \left\langle \int\limits_{-\infty}^{\zeta} b_z B_0 \, dz \right\rangle.
\] 		0.50
B8  1.20 Найдите добавку к энергии магнитного поля $\Delta U_B$, приходящейся на единицу площади. Ответ выразите через $\mu$, $\mu_0$, $B_0$, $\sqrt{\sigma \rho g}$, $k$, $a$ и $\langle \zeta^2 \rangle$.

1 Получено выражение:
\[
\Delta U_B = - \frac{(\mu-1)B_0}{2\sqrt{\sigma \rho g}} \left\langle \phi_\downarrow(\zeta) \right\rangle.\] 		0.40
2 Получено выражение:
\[
\Delta U_B = - \frac{(\mu-1)^2 B_0^2}{2 \sqrt{\sigma \rho g} \mu (\mu+1) \mu_0} \left\langle \zeta e^{k \zeta} \right\rangle.\] 		0.40
3 Получен ответ:
\[
\Delta U_B = - \frac{(\mu-1)^2 B_0^2}{2 \sqrt{\sigma \rho g} \mu (\mu+1) \mu_0}k \left\langle \zeta^2 \right\rangle.\] 		0.40
C1  0.30 Как связаны направления $\vec{k}_i$ друг с другом? Как связаны $a_i$ друг с другом и с $A$?

1 Концы векторов $\vec k_i$ лежат в вершинах шестиугольника. 0.15
2 $a_i = А/3$ из симметрии состояния. 0.15
C2  1.20 Найдите $U$ как функцию $A$, $k$ и параметров системы $\mu$, $\mu_0$, $\sqrt{\sigma \rho g}$ и $B_0$.

1 При усреднении $\zeta^2$ или $(\nabla \zeta)^2$ обнулены произведения косинусов с разными $\vec{k}_i$ 0.30
2 Получено:
\[\langle \zeta^2 \rangle = \frac{A^2}{6}.\] 		0.30
3 Получено:
\[ \langle (\nabla \zeta)^2 \rangle = \frac{k^2 A^2}{6}.\] 		0.30
4 Получен ответ:
\[U = 1 + \frac{A^2}{12} \left( 1 + k^2 - \frac{(\mu-1)^2 B_0^2}{\sqrt{\sigma \rho g} \mu (\mu+1) \mu_0}k \right).\] 		0.30
C3  0.20 При каком $B_c$ состояние $\zeta(x,y)=0$ теряет устойчивость?

1 Получен ответ:
\[B_c = \sqrt{ \frac{2 \mu_0 \mu (\mu + 1) \sqrt{\sigma \rho g}}{(\mu-1)^2}}.\] 		0.20
C4  0.20 Гексагональная решетка с каким $k_c$ возникает на поверхности жидкости при $B>B_c$, $B/B_c -1 \ll 1$?

1 Получен ответ:
\[ k_c=1.\] 		0.20
C5  0.10 Будет ли наблюдаться неустойчивость Розенцвейга в диамагнитной $(\mu < 1)$ жидкости?

1 Правильный ответ: да. 0.10